三角形四心的向量形式

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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）01-0130-01

近几年全国各地高考试卷中，都有不少题与三角形的“四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手。笔者搜集了部分资料，结合本人积累的教学经验，利用向量的相关知识对有关三角形的“四心”的相关知识进行总结，重点体现出它们之间的结合，疏漏不当之处，恳请读者批评指正。

一、基础知识梳理

1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心，即三角形内切圆圆心；三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心，即三角形外接圆圆心；三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心；三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心。我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”。

2.应用：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二；三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边。

二、典型例题解析

1.“重心”的向量形式

例1 已知O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则P的轨迹一定通过ABC的（ ）。

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析：由题意=λ（+），当时λ∈（0，+∞），由于λ（+）表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心.故选（C）.

2.“垂心”的向量形式

例2 P是ABC所在平面内一点，若・=・=・，则P是ABC的（ ）。

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析：由・=・，得・（-）=0，即・=0，所以.同理可证，.P是ABC的垂心。故选（D）。

3.“内心”的向量形式

例3 已知O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点，动点P满足=+λ+，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）。

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析：由题意得=λ+，当λ∈（0，+∞）时，表示∠BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC的内心。故选（B）。

4.“外心”的向量形式

例4 已知O是ABC所在平面内一点，若2=2=2，则O是ABC的（ ）。

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析：若2=2=2，则2=2=2，==，则O是ABC的外心。故选（A）。

三、知识归纳提炼

我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式。

已知P点为ABC内任意一点，若P点满足：

1.=（+）=>P为ABC的重心；

2.①・=0・=0=>P为ABC的垂心；

②设O为ABC所在平面上的一点，若・=・=・，则点O为ABC的垂心。

③设ABC外心为O，若点M满足++=，则点M为垂心。

3.①=λ（+），λ>0=t（+），t>0=>P为ABC的内心

②已知O是ABC所在平面上的一点，若α+b+c有，则O是ABC的内心。

③已知O是ABC所在平面上的一点，若有-2+-2+

-2，则O是ABC的内心。

4.①D、E两点分别是ABC的边BC、CA上的中点，且・=・・=・=>P为ABC的外心。

②设O为ABC所在平面上的一点，若（+）・=（+）・=（+）・，点O为ABC的外心。

向量的内涵是十分丰富的，本文从向量这个角度对三角形的四“心”进行一定的总结归纳，使我们对三角形的四“心”在向量中的表现形式有了进一步的认识，看到了它们的内在统一。平时教学中有意识地对学科中的相关知识点进行较为系统地整理和提炼，无论在提高学生的解题能力方面还是在开拓学生视野方面都大有裨益。