打开交叉问题的钥匙

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在排列组合中，有时会遇到交叉问题，很容易计算重复或遗漏，这时可以用集合的韦恩图来帮助我们解决这类问题。

例1..已知A=x|0？荞？v■x

（1）从集合A和B中各取一个元素，作为直角坐标系中点的坐标，共有多少个点？

（2）从集合A中取出一个元素，从集合B中取出2个元素，可以组成多少个无重复数字的三位数？

解：A=1，2，3，4，5，6，7，B=5，6，7，8，9

（1）如图（1），从集合A中一个元素，分两类：

一类在A∩C■B=1，2，3，4中选，有C■■C■■A■■=40个不同的点。

另一类在A∩B=5，6，7选，此时在集合B中取一个元素，有两种情况，在A∩B=5，6，7中选或在B∩C■A=8，9中选。当在A∩B=5，6，7中选时，横坐标与纵坐标相同时，有C■■=3个坐标，即（5，5），（6，6），（7，7），横坐标与纵坐标不相同时，有A■■=6个坐标，共有C■■+A■■=9个。当B∩C■A=8，9中选时，C■■C■■A■■=12这一类中，由分类计数原理得共有C■■+A■■■+C■■■■C■■A■■■=21个。

由分类计数原理得，共有C■■C■■A■■+C■■+A■■+C■■C■■A■■=61个。

（2）如图（1），从集合A中一个元素，分两类：

一类在A∩C■B=1，2，3，4中选，有C■■C■■A■■=240个不同的点。

另一类在A∩B=5，6，7选，此时在集合B中取两个元素，有三种情况，在A∩B=5，6，7中选两个或一个或不选。当在A∩B=5，6，7中选两个时，有A■■=6种。当在A∩B=5，6，7中选一个时，有C■■C■■A■■=36种。当在A∩B=5，6，7中不选时，有C■■C■■A■■=18种。这一类中，由分类计数原理得共有A■■+C■■C■■A■■+C■■C■■A■■=60个。

由分类计数原理得，共有C■■C■■A■■+A■■+C■■C■■■A■■+C■■C■■A■■=300

个。

例2.10名演员，其中5名能歌，8名善舞，从中选出5人，使这5个人能演出一个由1人独唱，4人伴舞的节目，共有多少中选法？

解：如图（2），集合A表示能唱歌的，集合B表示能跳舞的，有3个人能歌善舞。

从集合A中一个独唱的，分两类：

一类在只会唱歌的人中选，有C■■C■■=140种；

另一类在选3个人能歌善舞中选，有C■■C■■=105种，这里与例1不同，因为人不同，唱歌和跳舞不同，这样计算C■■C■■+C■■C■■+C■■C■■=105，也一样。

由分类计数原理得，共有个C■■C■■+C■■C■■=245。

例3.某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育课，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课表的方法？

解：六门课程总的排法是A■■，其中不符合要求的可分为：体育课排在第一节有A■■种排法，如图（3）中A；数学课排在最后一节有A■■种排法，如图（3）中B；但这两种方法都包括体育课排在第一节数学排在最后一节，如图（3）中A∩B，这种情况有A■■种排法，因此符合条件的排法应是A■■-2A■■+A■■=504种。

在排列组合中，交叉问题用集合法，恰当地分类，先选后排。

例4已知全集I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B？哿I，当时A∩B=1，2，3时，称（A，B）为“理想集合对”，那么这样的“理想集合对”共有（ ）

（A）36种 （B）63种

（C）3■种 （D）6■种

分析：画集合的韦恩图，全集被分成了（1）A∩C1B、（2）B∩C1A、（3）A∩B、（4）C1（A■B）个区域，只有区域（3）确定了，还剩下4，5，6，7，8，9六个元素，可以填在（1）、（2）、（4）的任何一个区域，每一个元素有3种方法，六个元素共有36种方法，选（C）。

例4、（2008・重庆・9）如解（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小。球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

（A）V1>■ （B）V2V2 （D）V1

分析：设小球的半径为r，则大球的半径2r，V=■2r■=8×■r■=24×■r■

而V=V■+4×■r■-V■=V■+■-V■，V■-V1=■>0，

故选（D）。