社保基金投资风险思索

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一、引言

社会保障基金（简称社保基金）是指依据国家法律、法规和政策的规定，为满足社会保障的需要，通过各种渠道、采取各种形式筹集到的用于社会保障各项用途的专项资金。2001年，为使社保基金试水资本市场，我国成立了全国社会保障理事会，主要负责管理全国社会保障基金。目前，全国社会保障基金共有5个系列的投资组合，分别是“1”字开头的股票投资组合、“2”字开头的债券投资组合、“5”字开头的新股型组合、“6”字开头的稳健配置组合以及“0”字开头的指数化投资组合。其中，“0”字头的001、002组合由社保基金会投资部自行管理，其余的由社保理事会委托具有社保基金投资管理人资格的金融机构管理。全国社会保障基金自成立至2009年末，累计投资收益额2448.59亿元，年均投资收益率为9.75%（《全国社会保障基金理事会基金年度报告》（2009）），远远高于银行年存款利率。但是社保基金在获得相对较高收益的同时，又承担着怎样的风险？社保基金投资的首要原则是安全性，准确地测度社保基金投资风险对控制风险的前提，对保证社保基金投资的安全性具有重要的意义。目前关于我国社保基金投资组合风险测度的研究，主要采用的是简单的VaR方法测度若干只重仓股的风险（崔玉杰等，2003；刘子兰、严明，2006）[1-2]。尚未将相对先进的风险测度技术引入到社保基金投资组合风险测度中。投资组合风险测度的关键问题之一是金融资产相关结构的建模。Copula被认为是刻画金融资产相关结构的一种新方法，它将边缘分布与变量间的相关结构分开来进行研究，使得对问题的分析更加灵活。自从Embrechts（1999）[3]将Coupla引入到金融领域后，Copula在风险测度领域取得了一系列的成果（Embrechts等，2003；李建平等，2010）[4-5]。近年来，一些学者把GARCH模型、极值理论（EVT）与Copula结合，研究投资组合的风险。刘志东（2006）[6]提出了基于Copu-la-GARCH-EVT模型的资产组合选择模型及其混合遗传算法。应益荣和詹炜（2007）[7]基于Copula-EVT模型研究了资产组合的ES。傅强、邢琳琳（2009）[8]基于Copula-EVT模型测度了投资组合的CVaR。Wang等（2010）[9]基于GARCH-EVT-Copula模型研究了外汇组合的VaR和CVaR。本文将GARCH-VET-Copula引入到社保基金投资组合风险测度中，以期更加准确地测度风险，为社保基金风险管理提供科学的决策依据。

二、测度模型

（一）GARCH模型

金融时间序列的一个显著特点是存在条件异方差，Engle于1982年提出自回归条件异方差（ARCH）模型来刻画时间序列的条件二阶矩性质，并通过条件异方差的变化来刻画波动的时变性及聚集性。用ARCH模型对非平稳时间序列建模过程中会遇到滞后阶数过大甚至趋于无穷，导致计算上的过高复杂性，这就引入了广义ARCH—GARCH模型。ìí?????rt=μt+εtεt=h1/2tξt,ξt~i.i.F(?)ht=α0+∑i=1qαiε2t-i+∑i=1pβiht-i（1）其中，p0，q0，α00，αi0（i=1，2，...，q），βi0（i=1，2，...，p）。式（1）称为GARCH（P,Q）模型。均值项μt一般用自回归移动平均过程ARMA模型进行拟合，滞后阶数一般根据自相关图和偏自相关图以及AIC、SC等确定。不同的ξt分布可以得到不同的GARCH模型，常见的假设F(?)为标准正态分布N(0,1)、自由度v的tv分布、广义误差分布（GED）。若用极值理论EVT的广义极值分布或者广义Pareto分布来拟合ξt的条件分布F(?)，模型就称为EVT-GARCH。

（二）极值理论（EVT）

一般来说，金融资产收益都具有尖峰厚尾的特征，极值理论不是针对整个分布建模，仅考虑尾部，避开了分布假设难题，有助于处理风险度量中的厚尾问题。一元极值分布理论包括BMM（BlockMaximaModel）和POT（PeaksOverThreshold）。前者主要是对组最大值建模，需要采用大量的数据；后者则是对观察值中所有超过某一较大阈值的数据建模，能有效地使用有限的极端观察值，因此通常被认为在实践中是最有用的。本文采用POT进行建模。基于EVT建模时，必须要求收益率序列是独立同分布的。首先采用FIGARCH模型对收益率序列建模，提取标准化的残差ξt。假设F(z)为Z（ξt所对应的随机变量）的分布函数，u为阈值，z-u表示超额值，其超额分布函数记为：Fu(y)=P(Z-uy|Z>u)=(F(z)-F(u))/(1-F(u))（2）对于条件超额分布函数Fu(y)，存在一个广义pa-reto分布函数GPDζ,β(y)使得Fu(y)≈GPDζ,β(y)，即对于充分大的阈值u，超额值的分布函数可以用广义Pareto分布（GPD）近似。即GPDζ,β(y)=ìí?????1-(1+ζyβ)-1/ζζ≠01-exp(-yβ)ζ=0（3）其中，ζ是形状参数，β是尺度参数。ζ>0表示是厚尾的；当ζ<0时，0x-β/ζ。在计算投资组合的VaR时主要用到的是尾部数据，所以对尾部分布的拟合极为重要。本文首先采用式（1）对收益率序列建模，提取标准化的残差ξt，然后采用Danielsson和Vries（2000）[10]的半参数法来构建尾部分布的函数F(ξt)：应用经验累积分布函数（cdf）对{ξt}的中间部分建模，应用极值理论对其尾部进行建模。对于中间部分，采用非参数高斯核估计法（NonparametricGaussianKernel）来拟合；对于尾部，采用广义帕累托分布（GPD）对其进行拟合，从而得到模型标准化残差ξt的分布函数F(ξt)：Fζ,β(ξt)=ìí?????????1-nuLn(1+ζξt-uLβ)-1/ζ,-∞<ξtuLcdf(ξt),uL<ξtuU1-nuun(1+ζξt-uuβ)-1/ζ,uU<ξt<∞（4）根据Neftc（i2000）[11]，选取10%和90%作为序列阈值的分位数，即uL为满足cdf(ξt)10%的最大值，uU为满足cdf(ξt)90%的最小值。

（三）Copula函数

研究投资组合的风险，除了正确地对边缘分布建模以外，准确地刻画金融资产间的相关结构也是关键问题之一。Copula理论为研究变量间相关性结构提供了一种新方法，由于其能够很好地拟合变量之间复杂的非线性相关性，并且不依赖于边际分布，Copula在现代风险管理领域中得到了越来越多的应用，被认为是非常适合的、强有力的建模工具。常见的椭圆簇Copula函数有GaussianCopula、t-Copula等。相对于正态Copula，t-Copula函数有着更厚的尾部，更易捕捉投资组合中各变量尾部的相关结构。本文使用t-Copula来反映变量之间的相关关系。两阶段极大似然估计法是估计Copula模型参数的常用方法。本文中t-Copula模型的参数估计方法如下。

第一步：估计法估计边缘分布即式（4）的参数，即θ?i=argmax∑t=1Tlnfi(ξit;θi),i=1,2,...,N（5）其中，fi(?)为式（4）的导函数。θi是待估参数。

第二步：将第一步估计所得的参数值带入t-Copula函数中，再次采用极大似然估计法估计t-Copula函数中的参数θc。θ?c=argmax∑t=1Tc(F1(ξ1t;θ?1),F2(ξ2t;θ?2),...,FN(ξNt;θ?N);θc)（6）（四）基于MonteCarlo的投资组合VaR计算在估计出投资组合中金融资产的边缘分布和金融资产间的相关结构即Copula函数后，采用MonteCarlo模拟法计算投资组合的VaR。具体的步骤如下：（1）生成N个独立且均服从（0,1）上均匀分布的时间序列{ut,i}M×N。（2）模拟各金融资产的收益率序列将{ut,i}M×N转换为{rt,i}(t=1,2,...,M；i=1,2,…,N)：根据式（4）估计所得的边缘分布（即金融资产）的分布函数Fi，运用Fi的反函数将序列{ut,i}M×N转换为标准化残差序列ξt,i，即ξt,i=Fi-1(ut,i)，然后根据式（1）求得相应的收益率{rt,i}，得到与原收益率序列具有相同特征的模拟数据。（3）计算投资组合未来的收益率根据金融资产i在投资组合中的权重wi，计算投资组合的收益率{rt}，计算公式如下：rt=log[1+∑i=1N(er1,t-1)?wi],t=1,2,…,M（7）（4）计算投资组合的VaR只要模拟次数M足够大，那么置信水平α下的风险值VaRtα+1可以用序列{rt,i}(t=1,2,..,M)的α分位数近似。

三、实证分析

社保基金投资组合是以季度为时间单位进行调整的，由于投资组合每个季度投资的股票数量不等，少则1只，多则几十只，根据投资组合的分散程度，仅选择权重排名靠前的三或四只重仓股代表该季度的投资组合。本文以2010年第四季度的社保基金投资组合为研究对象，以2007年1月4日到2010年12月31日为研究的样本区间，其中，2007年1月4日到2010年9月30日的数据用于风险建模，2010年10月9日到2010年12月31日的数据用于Kupiec检验。为了准确刻画投资组合中股票的相关性，对于交易日t，只要有1只股票没有交易，则把当天所有观测数据删除。所有数据来源于Wind数据库。数据的处理及参数估计采用软件Eviews5.0和Matlab7.0。

（一）基本统计分析

将股票价格定义为股票每日的收盘价Pt,j，并将股票在第t个交易日的收益率定义为：rt,j=log(Pt+1,j/Pt,j),t=1,2,...,T（8）为简单起见，假定每个投资组合投资的资产总额为1单位。为节约篇幅，本文仅以2010年第四季度组合103为例，演示社保基金投资组合风险测度的过程。选取权重排名靠前的上海汽车、福耀玻璃和国投电力3只股票代表该组合，相对权重分别为36.15%、33.42%和30.43%。表1给出了各股票收益率的描述性统计。由表1可知，在样本观察期间内，3只股票的平均收益均为正，收益偏度统计值均为负，意味着收益存在着下跌的可能；峰度统计值表明各股票收益分布具有比正态分布更厚的尾部特征；J-B检验统计量均大于临界值5.8825，相伴概率也均小于0.01，拒绝了收益序列服从正态分布的假定；进行Engle’sARCH/GARCH效应检验，结果表明{rt,1}、{rt,2}和{rt,3}都具有明显的条件异方差性。

（二）边缘分布建模及参数估计

用Ljung-BoxQ-统计量分别对{rt,1}、{rt,2}和{rt,3}进行自相关性检验，并根据AIC和SC准则确定滞后阶数，判断的结果为：{rt,1}的均值方程模型为AR(2)，而{rt,2}和{rt,3}的均值项可以直接采用常数。由于GARCH(1,1)模型能够刻画绝大部分金融风险的波动，所以采用GARCH-t模型对{rt,1}、{rt,2}和{rt,3}分布建模，参数估计结果见表2。由表2中的ARCHLM统计量可知，采用GARCH模型对{rt,1}、{rt,2}和{rt,3}建模，消除了ARCH效应。由标准化残差序列{ξt,1}、{ξt,2}和{ξt,3}的自相关图（图1）可知，标准化残差序列不存在自相关性，进一步验证了采用GARCH模型建模的合理性。为减少参数估计误差，将Bootstrap方法和极大似然估计相结合，拟合{ξt,1}、{ξt,2}和{ξt,3}的上、下尾。Bootstrap方法是由Efron在1979年首先提出的，该方法的基本思想是把可获得的初始样本看做一个总体，从中重复随机抽样，得到Bootstrap再抽样样本，然后进行统计量的估计，对于很多统计量已被证明Bootstrap方法满足大样本的相合性（叶五一等，2004）[12]。由于该方法当样本容量较小时也可以用，因此可以用该方法对帕累托分布（GPD）的参数估计进行改进。上、下尾部的参数估计结果如表3。进一步将{ξt,1}、{ξt,2}和{ξt,3}基于式（4）与经验分布的拟合进行比较，如图2，发现基于式（8）的拟合效果较好，尤其是{ξt,2}的拟合效果最好。

（三）Copula模型的参数估计及投资组合VaR的计算

采用两阶段法估计t-Copula参数，相关系数矩阵R和自由度DoF估计结果为：R=ìí???1.00000.04910.04780.04911.00000.48210.04780.48211.0000，DoF=11.1440为计算VaR，首先，根据t-Copula的参数R和DoF，由MonteCarlo模拟法模拟2000次，生成3个独立且均在（0,1）上服从均匀分布的随机变量序列{ut,1}，{ut,2}，{ut,3}；然后，根据式（4）的逆函数，将{ut,1}，{ut,2}，{ut,3}转化为标准化残差序列{ξt,1}、{ξt,2}和{ξt,3}；其次，根据式（1）计算3只股票收益率{rt,1}，{rt,2}，{rt,3}；接着，结合3只股票在投资组合中的权重，计算投资组合的收益率{rt}；最后，预测2010年10月9日的投资组合VaR，得出95%置信度下投资组合的VaR为0.1307。为评估模型的预测效果，根据2010年10月9日到2010年12月31日的数据预测投资组合的VaR，并进行Kupiec检验。Kupiec检验也叫做LR似然比检验，其基本思想是假定实际考察天数为N0，失败天数为n，则失败率为p=n/N0。设VaR置信度为p*。假定VaR估计具有时间独立性，则失败天数n服从参数为N0和p的二项分布，即n~B(N0,p)，在零假设p=p*下，似然比LR=-2ln[(1-p*)N0-n(p*)n+2ln[(1-n/N0)N0-n(n/N0)n~χ2(1)，在5%的显著水平之下，如果LR>3.8415，拒绝本模型。进一步检验模型效果，在置信度为99%和95%下，基于GARCH-EVT-Copula模型预测了2009年10月9日到2009年12月31日的VaR，并得出了60个交易日内失败的天数、失败率及LR统计值（如表4所示）。无论是在97.5%置信度还是95%置信度下，LR的值均小于3.8415，不能拒绝GARCH-EVT-Copula模型，说明基于GARCH-EVT-Copula模型预测VaR是合适的。按照类似的方法和步骤，结合投资组合股票的权重，同样可以计算社保基金其他投资组合日VaR值，计算结果如表5所示。

四、结论

社保基金是社会保障制度的物质基础，其安全和保值增值是社会保障事业健康发展的关键。社保基金进入资本市场，其最终目的是在保证安全性的前提下实现收益的最大化，因此，测度社保基金的投资组合风险水平具有重要的意义。本文以2010年第四季度“1”字头的12个股票型投资组合（投资组合101-112）为研究对象，基于GARCH-EVT-Copula测度社保基金投资组合的风险：采用GARCH模型对投资组合的边缘分布建模，提取标准化残差，基于极值理论对标准化残差的分布建模，采用极大似然法和Bootstrap方法估计分布函数的参数，以Copula方法刻画风险资产之间的相关结构，运用MonteCarlo模拟法计算投资组合的VaR。对投资组合日VaR的预测效果进行Kupeic检验，检验结果表明基于GARCH-EVT-Copula模型测度社保基金投资组合的风险是合适的。