水轮机系统分岔分析

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本文作者：把多铎 袁璞 陈帝伊 丁聪 单位：西北农林科技大学水利水电科学研究院

水轮机调节系统是集水力、机械和电气为一体的复杂系统［1－2］．由于有压引水系统的水流惯性、水轮发电机组各个环节的非线性特性、水轮机传递系数随工况而改变的时变特性以及电力系统的随机负荷扰动，使得水轮机调节系统的控制十分困难［3－5］．近年来，随着水轮发电机组单机容量的增加、水电站水头的提高，以及由水力、机械和电气等因素引起的机组不稳定，使得振动和自激振荡问题日益突出．生产实践中，国内外有很多大中型水电站中的水力发电机组均存在一定程度的稳定性问题［6－7］．因此，水轮机调节系统中的复杂非线性动力学行为已经成为水利水电行业的研究热点问题之一［8－10］．长期以来，在水电系统动态计算与仿真中，一般均采用刚性水击假设下的水系统———水轮机线性化模型，忽略水系统及原动机系统的非线性动力学作用［11］．而在已有水轮机调节系统非线性动力分析中，普遍选择单机单管水轮机调节系统模型进行研究［12－13］，对于引水系统为复杂管系时的水轮机调节系统模型则研究得相对较少．文中在引水系统为复杂管道情况下，考虑水轮机调节系统中各传递系数随着运行工况变化而呈现出的非线性特性，建立复杂管系时的水轮机调节系统非线性数学模型．在此模型基础上，进行水轮机调节系统的非线性动力学分析，并研究系统随调节器参数变化而引起的分岔现象．

1水轮机调节系统数学模型

1.1非线性数学模型混流式水轮机组调节系统的结构如图1所示。一般而言，式(2)中包含的6个传递函数是随着运行工况的变化而变化的，根据水轮机模型综合特性曲线，可获得6个传递系数与机组转速x和水头h之间的非线性表达式［14］。

1.2复杂管系时的水击模型设引水系统如图2所示，总管标号为P，有m条叉管1，2，…，i，…，m．现在研究1号机组调节系统动态过程，其传递函数最后化简成式(4)的形式［1］。式中:Twp为总管道的水流惯性时间常数;Tw1为1号岔管的水流惯性时间常数;hw1为1号岔管的水管特征系数．

1.3调节系统非线性数学模型发电机和负载动态特性［14］为式中:Tab=Ta+Tb，Ta为机组转动部分惯性时间常数;Tb为负载转动部分惯性时间常数;en为机组综合自调节系数;mg0为负荷扰动．两式中:kp为调速器比例增益;ki为调速器积分增益;kd为调速器微分增益;r为指令信号．由式(3)及式(6)－(10)，得到复杂引水管系水轮机调节系统的非线性数学模型.

2系统的非线性动力学分析

2.1理论分析定理1:设F(x，μ)对x，μ解析，A(μ)=DxF(0，μ)的特征方程［15］为则当|μ|充分小时，系统在μ=0的某一侧存在Hopf分支．式(11)中，在不计水头损失时，分为以下两种情况:1)r≠0，mg0=0，即存在频率扰动;2)r=0，mg0≠0，即存在负荷扰动．这里只考虑第1种情况，设r=0.01．计算系统在扰动下的平衡点的值，通过坐标变换，将系统方程的平衡点移至0点处，对系统方程求取Jocabi矩阵并计算矩阵的特征方程．如此，便可利用定理1所述，求解系统发生Hopf分支时PID参数应满足的条件．求解出平衡点，通过坐标变换，并求取出Jocabi矩阵，得到Jocabi矩阵特征方程的各项系数为由式(12)写出Hurwitz行列式，根据判断依据an＞0，Δ＞0两个条件得，kd范围为0到9.7．当kd＞9.7时，定理1条件不再适用，可通过数值模拟进一步分析．依据Hurwitz行列式Δ4=0，得到系统出现Hopf支时，kp，ki，kd各参数之间应满足的关系，并绘制出分支临界点所构成的曲线．图3是在kp取1.9644时，分支临界点kd，ki应满足的关系曲线图．由Hopf分支临界点组成的曲线，将kd，ki组成的区域分成两部分，在曲线的一侧为稳定区域，在曲线的另一侧则为不稳定区域．

2.2数值模拟分析非线性动力系统的分岔图是系统发生分岔现象时最直观的表示．分岔图是在系统状态变量和分岔参数所组成的空间中得到的系统极限集(例如平衡点、周期闭轨、不变环面等)随参数变化的图形，它反映了动力系统的动力学性态随参数变化的情况［3，21］．采用四阶RungeKutta法对系统进行数值分析计算，调速器参数kp=1.9644，ki=2.1246．以调速器参数kd为控制变量的水轮机转速分岔图见图4;图5是调速器参数kd范围在4．0～7.8时的水轮机转速分岔图的局部放大图．分岔图画法采用最大值法．由图4，5可知，当0＜kd≤7.0时，水轮机机组转速相对偏差值x不等于0，表明水轮机调节系统在该参数范围内是发散的，水轮机调节系统处于不稳定状态．当7.0＜kd≤9.8时，水轮机机组转速相对偏差值x为0，表明水轮机调节系统在该参数范围内是收敛的，水轮机调节系统处于稳定状态．当9.8＜kd≤11.0时，水轮机机组转速相对偏差值x不等于0，表明水轮机调节系统在该参数范围内是发散的，水轮机调节系统处于不稳定状态．选择图4中5个具有代表性的点进行非线性动力学的深入分析．图6中，kd=4．0时，Poincare映射图表现为一条直线，功率谱图中出现宽峰和很多噪声波形，时域图中水轮机转速相对偏差值x和导叶开度y相对偏差值的变化随时间t的增长而发散，水轮机调节系统处于不稳定状态．功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况．功率谱密度与相关函数之间满足傅里叶变换，反映了信号的功率在频域随频率的分布，因此，其又称为功率谱密度．随机过程的功率谱密度函数应看做是每一个可能实现的功率谱的统计平均．在n维系统中的n维相空间中适当选取n－1维超截面(要有利于观察系统的运动特征和变化，例如截面不能与大多数轨线相切)，通常称此截面为庞加莱截面．连续系统的庞加莱截面可以表示系统相轨线的拓扑性质．庞加莱截面上的孤立点或有限个孤立点、闭曲线和分布在一定区域上的不可数点集分别表示系统的周期运动、拟周期运动和混沌运动．通过分析系统的功率谱图和庞加莱映射图，可以对水轮机在调节过程中的动力学行为进行深入研究．如图7所示，当kd=7．0时，功率谱图中在f=0.05处出现尖锋，Poincare映射图表现为几个孤立的点．水轮机转速相对偏差值x和导叶开度相对偏差值y随时间t的增长，由发散状态变为等幅震荡状态，震荡周期在18s左右，相空间图出现极限环，系统出现Hofp分岔点，此时水轮机调节系统处于临界状态．结合图3可知，当ki取2.1246，kd=7.0时，系统会出现Hopf分岔．随着参数kd的增大，如图8所示，当kd=7.9时，Poincare映射图表现为一条近似直线，时域图中水轮机转速相对偏差值x和导叶开度相对偏差值y随时间t的增长由等幅震荡变为逐渐收敛，相轨迹图呈现规则的圆形，水轮机调节系统处于稳定状态．在动态分岔中，较重要的是由于定点稳定性突然变化而出现的极限环的Hopf分岔．Hopf分岔是非线性动力系统中的一类常见问题，通常与系统的自激振荡有密切联系．用状态变量－参量空间表示，当参量小于或大于某一临界值时，定点变为不稳定并出现了极限环．当系统的参量所取的值不同时，极限环的大小和形状也会有较大的差别．如图9所示，当参数kd增大到9.8时，水轮机调节系统响应出现混沌状态．Poincare映射图出现具有分形结构的密集点，功率谱图中出现宽峰和很多噪声波形，尖峰由f=0.052处移至f=0.223处，水轮机转速x及导叶开度y的时域图波形出现削波和拍振，水轮机转速相对偏差值x和导叶开度相对偏差值y随时间t的增长由收敛状态过渡到等幅震荡，同时，x和y震荡周期由原来的18s缩小到4.5s．相轨迹图的拓扑结构含有奇怪吸引子，此时水轮机调节系统由稳定状态过渡到不稳定状态．如图10所示，当kd=10.5时，Poincare映射图出现具有分形结构的集点，水轮机转速相对偏差值x和导叶开度相对偏差值y随时间t的增长出现等幅震荡，震荡周期稳定在4.5s左右，功率谱图中表现为在频率f=0.223处出现尖峰，水轮机调节系统处于不稳定状态．当0≤kd＜9．8时，在理论判据的适用范围内，其具体响应特性如图6－8各图所示，但当9．8＜kd≤11．0时，直接代数判据条件已不再适用，不能使用理论方法进行分析．但可以使用数值模拟方法，对不同调速器参数kd所对应的水轮机调节系统的响应进行分析．通过采用四阶Runge－Kutta算法求解水轮机调节系统数学模型微分方程组得到图6－10中各时域图．功率谱图的算法有:自相关函数法、周期图法、平均周期图法和平滑平均周期图法、最大熵谱分析法、谐波分解法等．采用自相关函数法，其具体做法为:在时域图的数据基础上，估计出自相关函数，然后对自相关函数进行傅里叶变换，由此可以得到功率谱图．由以上数值模拟分析结果可知，当kd=7．0时，系统出现Hofp分岔点，此时水轮机调节系统处于临界状态，此结果与理论分析吻合．当kd=4．0时，x和y随时间t的增长而发散，水轮机调节系统处于不稳定状态．当kd=7.9时，时域图x和y随时间t的增长逐渐收敛，水轮机调节系统处于稳定状态．以上结果表明，kd=7．0时出现的Hopf分岔点将系统分为稳定区域和不稳定区域，在kd=7．0点左侧，系统处在不稳定区域，而在kd=7．0点右侧，系统处在稳定区域．数值分析结果与理论分析中图3结果一致．由此可以判断出水轮机调节系统PID参数的稳定范围，即当kp=1.9644，ki=2.1246时，若0≤kd＜7.0，水轮机调节系统不稳定;若kd=7.0，系统出现hopf分岔点，水轮机调节系统处于临界稳定;若7.0＜kd≤9.7，水轮机调节系统是稳定的;若kd＞9.7，由数值分析可知，当9.7≤kd＜9.8时，水轮机调节系统是稳定的，9.8≤kd≤11时水轮机调节系统不稳定．

3结论

建立了在复杂引水管系中的水轮机PID调节系统非线性模型，通过非线性分岔理论，对模型进行了分析．1)根据直接代数判据进行理论分析，得到了系统Hopf分支临界点组成的曲线．通过数值模拟，并结合系统响应分岔图，对Hopf分叉点两侧水轮机调节系统稳定性的变化情况进行了仿真，验证了理论分析结果的正确性，得到了使水轮机调节系统处在稳定区域内的调速器PID参数的范围．2)运用分析水轮机调节系统的分岔图、Poincare映射图、功率谱图、时域图、相轨迹图、频谱图等一系列手段，对水轮机调节系统非线的不同状态进行了分析，发现了调节系统随参数变化时，机组转速和水门开度的振动周期、振动频率、系统频谱和系统功率谱的变化规律．为深入研究水轮机调节系统的动力学本质和调节系统的控制与改进，提供了理论依据．