三角形问题中考考点解析

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三角形作为最基本的图形之一,在几何知识中有着极其重要的地位.与三角形相关的内容众多,考查范围较广.下面就2009年部分省市中考数学试卷中对三角形的考查方式、分值比例等作出相关统计:

通过上表可以看出,与三角形相关的知识考查形式灵活多样. 下面就三角形相关考点与解决方法进行解析,希望给同学们带来帮助.

考点一、三角形的边与角

例1(2009年济宁考题)如图1,在ABC中,∠A=70,∠B=60,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于( ).

A. 100 B. 120 C. 130 D. 150

解析:由图形可知,∠ACD为ABC的外角,根据三角形外角的性质,三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,所以∠ACD=∠A+∠B=130,故选C.

例2 (2009年义乌考题)如图2,在ABC中,∠C=90,EF//AB,∠1=50,则∠B的度数为( ).

A.50 B. 60 C. 30 D.40

解析:由题意可知,∠1=∠CEF=50,又因为∠C=90,所以∠CFE=40.因为EF//AB,所以∠B=∠CFE=40,故选D.

点拨:以三角形的边和角为考查对象的问题,多以填空题和选择题的形式出现,难度相对较低.在以后的中考试题中,此类问题仍将保持原有的模式,解答时注意找出关键的边角关系.

考点二、等腰三角形与等边三角形

例3(2009年绍兴考题)如图3,在ABC中,AB=AC,∠BAC=40,分别以AB、AC为边作两个等腰直角ABD和ACE,使∠BAD=∠CAE=90.

(1)求∠DBC的度数;

(2)求证:BD=CE.

解析:(1)ABD为等腰直角三角形,∠BAD=90,

AD=AB, ∠BDA=∠DBA=45,

AB=AC,∠BAC=40,

∠ABC=∠ACB=70,

∠DBC=∠DBA+∠ABC=115.

(2)在ABD和ACE中,

AB=AC,∠DAB=∠EAC,AD=AE,

ABD≌ACE,

BD=CE.

例4(2009年中山考题)如图4所示,ABC是等边三角形,D点是AC的中点,延长BC到E,使CE=CD.

(1)用尺规作图的方法,过D点作DMBE,垂足是M(不写作法,保留作图痕迹);

(2)求证:BM=EM.

解析:(1)略.

(2)ABC是等边三角形,点D是AC的中点,

BD平分∠ABC,即∠DBC=30,

CE=CD,∠BCD=60

∠CDE=∠E=30,

∠DBC=∠E=30,

BD=ED,

DMBE,

点M为BE的中点,即BM=EM.

点拨:等腰三角形的性质和判定一直以来都是中考的重点内容,常单独出现或与四边形、圆等知识综合起来出现,难度适中,具有较高的思考价值.

考点三、直角三角形与勾股定理

例5 (2009年滨州考题)如图5,已知在ABC中,AB=17,AC=10,AB边上的高CD=8, 则边BC的长为( ).

A.21 B.15

C.6 D.以上答案都不对

解析:由题意可知,CDAB,AC=10,CD=8,根据勾股定理,所以AD=6,所以 BD=11,因为CD=8,所以BC= ,所以应选D.

例6(2009年牡丹江考题)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.

解析:在RtABC中,∠ACB=90,AC=8,BC=6,根据勾股定理得AB=10,扩充部分为RtACD,扩充成等腰ABD,应分以下3种情况:

(1)如图6,当AB=AD=10时,则CD=CB=6,所以ABD的周长为32m;

(2)如图7,当AB=BD=10时,则CD=4,由勾股定理得AD= ,得ABD的周长为(20+4)m ;

(3)如图8,当AB为底时,设AD=BD=x,则CD=x-6,由勾股定理得x= ,所以ABD的周长为.

点拨:直角三角形和勾股定理相结合,以及直角三角形与矩形、正方形、圆相结合是中考的常见题目,由于综合的知识点较多,所以解答时会有一定的困难,因此也是中考的难点之一.

考点四、全等三角形与相似三角形

例7 (2009年大连考题)如图9,在ABC和DEF中,AB = DE,BE = CF,∠B=∠1.

求证:AC = DF(要求:写出证明过程中的重要依据)

图9

解析:BE=CF,

BE+EC=CF+EC,即 BC=EF.

在ABC和DEF中,AB=DE,∠B=∠1,BC=EF.

ABC≌DEF(SAS),

AC=DF .

例8(2009年潍坊考题)如图10,已知ABC,延长BC到D,使CD=BC,取AB的中点F,连结FD交AC于点E.

(1)求的值;

(2)若AB=a,FB=EC,求AC的长.

解析:(1)如图11所示,过点F作FM∥AC,交BC于点M.

F为AB的中点,

点M为BC的中点,FM=AC .

FM∥AC,∠CED=∠MFD,∠ECD=∠FMD,

FMD∽ECD,

==,即EC=FM=×AC=AC,

=== .

(2)AB=a,FB=AB=a ,

又FB=EC,EC=a,

EC=AC ,AC=3EC=a.

点拨:以全等三角形和相似三角形的知识为考查对象的问题,在解答题中属于中档偏难型的题目,其解题的方式和方法不唯一,有利于拓展同学们的思维能力.