高考题解题启示

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇高考题解题启示范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

通过做2013年高考题，可以发现一些解题启示，对我们提高解题和复习的有效性有很大的指导作用.

一、利用坐标法解向量题

向量既有形又有数，是数形兼备的一个非常特殊的概念，在解题中我们既可以从形（作图研究）方面入手，也可以从数（建系计算）方面考虑，但形往往具有一定的难度，而数只需运算，简单的多.所以，用先建系再坐标运算解向量题是一种非常好的方法.

题1. 设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有・≥・，则（ ）

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90° C. AB=AC D. AC=BC

解析：不妨设AB=4，则P0B=1，P0A=3.可以根据向量坐标运算直接判断三角形形状.如图1，A（-2，0），B（2，0），P0（1，0），P（t，0）（-2≤t≤2），C（n，m），则・=t2-（n+2）t+2n，・=n-1，所以・-・=t2-（n+2）t+n+1=（t-1）[t-（n+1）]≥0对-2≤t≤2恒成立，故1=n+1，即n=0，所以C点在y轴上，故AC=BC.

题2. 在平面上，，||=||=1，=+. 若||

A. （0，] B. （，]

C. （，] D. （，]

解析：如图2建系，不妨设O（x，y），B1（a，0），B2（0，b），则P（a，b），

所以（x-a）2+y2=1……………………………①，

x2+（y-b）2=1…………………………………②，

由①②得（x-a）2+（y-b）2=2-（x2+y2），

代入③并整理得0≤2-（x2+y2）

解得

题3. 设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC.若=1+2（1，2为实数），则1+2的值为 .

解析：如图3建系，设A（2a，2b），C（3c，0），则D（a，b），E（2c，0），故=（2c-a，-b），=（-2a，-2b），=（3c-2a，-2b），所以2c-a=-2a1+（3c-2a）2，-b=-2b1-2b2，由第二个方程得1+2=.

题4. 已知，是单位向量，・=0，若满足|--|=1，则||的取值范围是（ ）

A. [-1，+1]

B. [-1，+2]

C. [1，+1]

D. [1，+2]

解析：如图4，以OA为x轴、OB为y轴建立平面直角坐标系，设C（x，y），则=（1，0），=（0，1），则|--|=|（x-1，y-1）|==1，即（x-1）2+（y-1）2=1，所以-1≤≤+1，故-1≤||≤+1.

题5. 已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2，若=+，且，则实数的值为 .

解析：不妨取A（0，0），B（3，0），C（-1，）建系，则=（3-1，），=（-4，），所以・=-12+7=0，解得=.

评注：坐标法将问题的难点化解于无形，将很难的得分点成为得分生长点.

二、利用圆锥曲线中结论解题

圆锥曲线中有许多的有用结论，熟记这些结论对解题有非常大的帮助作用.下面举例说明利用椭圆和双曲线中斜率关系解题.

结论1：斜率为k1的直线l与椭圆+=1（a，b>0，a≠b）相交于A、B两点，线段AB中点为P，若OP斜率为k2，则k1・k2=-.

证明：设直线l的方程为y=k1x+m，代入椭圆方程+=1，

化简、整理得（b2+a2k12）x2+2k1ma2x+a2m2-a2b2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

则x1+x2=-，x1・x2=，

所以y1+y2=k1（x1+x2）+2m=，

于是k2===-，故k1・k2=-.

结论2：椭圆+=1（a，b>0，a≠b）长轴顶点为 A、B两点， P是椭圆上不同于A、B的任一点，若PA、PB斜率分别为k1、k2，则k1・k2=-.

证明：不妨取A（-a，0），B（a，0），设P（x，y），

则k1・k2=・==-.

思考：同学们能类比椭圆结论，写出双曲线中类似地结论吗？

结论3：P是焦点为F1、F2的椭圆+=1（a，b>0）上除长轴端点外的任一点，设过点P且与椭圆相切的直线l的斜率为k，若PF1、PF2斜率分别为k1、k2，则+=-.

证明：设P（x0，y0），则直线l的方程为+=1（此处请认真思考由来），

所以k=-，而k1=，所以=-，

同理=-，所以+=-.

题6. 已知椭圆E：+=1（a>b>0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交E于A、B两点，若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（ ）

A. +=1 B. +=1

C. +=1 D. +=1

解析：由k1・k2=・=-=-，得a2=2b2……①，

四个选择子中只有D满足；另一方面，a2-b2=9………②，

由①②解得a2=18，b2=9，

所以椭圆E的方程为+=1 .

题7. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：+=1（a>b>0）右焦点的直线x+y-=0交M于A、B两点，P为AB的中点，且 OP斜率为.（1）求M的方程；（2）略.

解析：右焦点为（，0），所以k1・k2=-1×=-，a2-b2=3，

解得a2=6，b2=3，所以M的方程+=1.

题8. 椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）

A. [，] B. [，] C.[，1] D. [，1]

解析：因为=-，所以=-×.

又因为-2≤≤-1，所以-1≤≤-.

从而，≤≤，选B.

题9. 椭圆C：+=1（a，b>0）的左右焦点为F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点. 设直线PF1、PF2斜率分别为k1、k2. 若k≠0，试证明+为定值，并求出这个定值.

解析：（3）由（1）椭圆C：+y2=1知+=-=-8.

评注：熟记了结论显然有助于打开解决问题的突破口，能较轻松地解决问题.

三、利用数形结合解题

数形结合，是一种重要的数学思想方法，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法.其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，在“数”“形”之间互相转化，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题思路，从而巧妙地解决问题.

题10.已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）

A. （-∞，0] B. （-∞，1] C. [-2，1] D. [-2，0]

解析：①当x≤0时，|f（x）|≥ax化为x2-2x≥ax，

即a≥x-2成立，所以a≥-2；

②当x>0时，|f（x）|≥ax化为ln（x+1）≥ax，即a≤成立，

所以a≤[]min.

记g（x）=，则g′（x）=；

令h（x）=-ln（x+1）， 则h′（x）=-=0恒成立，所以h（x）

0递减，

又因为x>0时g（x）>0，所以a≤0.由①②知-2≤a≤0.

上述常规方法不仅思维含量比较高而且费时，我们可以数形结合从图形上来求解.作出函数|f（x）|的图像（如图5所示），由|f（x）|≥ax知，

要求|f（x）|的图像一直在直线y=ax上方，如图中直线是与y=x2-2x相切的直线，易知方程为y=-2x，且当该直线逆时针旋转至x轴时都满足题意，所以-2≤a≤0.

题11. 设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.（1）略；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

解析：如题10所述，f（x）的零点个数就是函数y=lnx与y=ax图像交点个数，如图6所示，容易求得直线y=ax与对数函数y=lnx相切时a=.而由g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数得a≤，所以a=或a≤0时y=lnx与y=ax图像有1个交点，即f（x）有1个零点；0

评注：数形结合形象直观，少了代数推理的严密逻辑和繁杂计算，无疑是一种非常好的解题策略.

四、利用图形性质解题

初中学习的平面几何性质，在解题中若能合理、充分应用，则可以减化解题、降低难度、快速解答.

题12. 过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）

A. 2x+y-3=0

B. 2x-y-3=0

C. 4x-y-3=0

D. 4x+y-3=0

解法1：设切线斜率为k，则切线方程为y-1=k（x-3），即y=kx+1-3k，故1=，化简得3k2-4k=0，解得k=0或k=. 当k=0时，切线为y=1，得切点A（1，1）；当k=时，切线为4x-3y-9=0，得切点B（，-），故直线AB的方程为

2x+y-3=0.

解法2：设切点（x0，y0），则 （x0-1）2+y02=1……①，且切线方程为（x0-1）（x-1） + y0y=1，故2x0+y0-3=0……②，

由①②解得x0=1，y0=1或x0=，y0=-，

则切点A（1，1），B（，-），得切线AB的方程为2x+y-3=0.

解法3：同解法2得2x0+y0-3=0……②，因为切点A、B都满足②式，所以直线AB的方程为2x+y-3=0.

解法4：我们知道圆心C（1，0）、P（3，1）、A、B四点在以PC为直径的圆（x-2）2+（y-）2=上，故AB为两个圆的公共弦，则两圆方程作差即为AB方程，故所求方程为2x+y-3=0.

解法5：由平面几何知识知ABPC，故AB直线斜率为-2，观察选择子知答案必为A.

小结：上述解法1、解法2、解法4都是可以求得直线AB方程的基本方法，其中计算量一般依次减少；解法3是计算量比较小的一种方法，但对思维的要求较高，难在理解；解法5是一种巧解，但只能得到斜率，若选择项中有相同斜率的直线或不是选择题，则后续工作还很多.

变式1. 过直线x-y+2=0上一点P作圆C：（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为 .

解析：因为SPACB=2SPAC=PA×AC=，所以当PC最小，即为C（1，0）到直线x-y+2=0的距离时，四边形PACB面积的最小值为.

变式2. 过椭圆+=1上一点P作圆C：（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则PAB面积的最小值为 .

解析：设P（x，y），则PC2=（x-1）2+y2=-2x+5=（x-2）2+3，

因为-2≤x≤2，所以3≤PC2≤9+4.

而PAB的面积S=PA×PB×sin∠APB=PA2×2sin∠APCcos∠APC= PA2××=，

令t=PC2-1∈[2，8+4]， 则S=.

因为S′==>0恒成立，

所以S是[2，8+4]上的增函数，故PAB面积的最小值为.

变式3.过圆C：（x-1）2+y2=1外一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则・的最小值为 .

解析：・=PA×PB×cos∠APB=PA2（1-2sin2∠APC）=

（PC2-1）（1-）=，

令t=PC2>1，则・==t+-3≥2-3，当且仅当t=即t=时等号成立，所以・的最小值为 2-3.

3个变式是对高考题的继承与发展，难度提高了许多，但解题时仍然在用图形性质.

评注：利用图形性质解题需要敏锐地观察力，更需要利用图形性质解题地意识和准备.

（作者单位：浙江省绍兴县越崎中学）

责任编校 徐国坚