圆热点考题解答策略

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是初中数学的重要内容之一，也是中考的必考考点，难度较以前有所降低.常以选择题、填空题的形式考查垂径定理、圆周角定理、直线与圆及与圆有关的简单计算；以解答题的形式考查垂径定理、圆周角定理、切线的性质定理及其判定定理与其他（如三角形全等、锐角三角函数、旋转等）知识综合运用，热点内容有：垂径定理、圆周角及其推论、切线的性质定理与判定定理、与圆有关的计算.下面精选2015年热点考题进行分析说明并总结对策，希望对同学们今后的学习有帮助.

热点一垂径定理

例1（2015・牡丹江）如图1，AB是O的直径，弦CDAB于E，若AB=8，CD=6，则BE=.

解：连接OC.ABCD，CE=12CD=3.OC=12AB=4，OE=OC2-CE2=42-32=7.BE=OB-OE=4-7.

点评：本题考查了垂径定理、勾股定理.运用垂径定理求出CE的长度，再由勾股定理求出OE的长度，从而得解.

解题对策：利用垂径定理进行计算或证明时，常需连半径或作圆心到弦的垂线段（弦心距），再利用勾股定理或锐角三角函数解“半径、弦心距和弦的一半构成的直角三角形”即可.

练习1（2015・黔东南州）如图2，AD是O的直径，弦BCAD于E，AB=BC=12，则OC=.

热点二圆周角定理

（2015・海南）如图3，将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（）

A.45°B.30°

C.75°D.60°

解：过点O作OCAB于D，交于O于C，连接OA，OB.根据折叠的性质得OD=CD，则OD=12OC=12OA.在RtAOD中，sin∠OAD=12，∠OAD=30°.OA=OB，∠OBA=∠OAD=30°.∠AOB=120°.由圆周角定理，得∠APB=12∠AOB=60°.故选D.

点评：折叠里隐含着线段相等或角相等，要注意挖掘.解本题的关键是根据折叠得到OD=12OC，并由此求出∠OAD=30°.

解题对策：在圆周角定理及推论中，一般通过“同弧”或“等弧”将圆周角和圆心角联系起来，解题时要紧紧抓住“同弧”或“等弧”找（构造）圆周角与圆心角.另外，遇到直径、半圆或90°的圆周角，常根据“半圆或直径所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径”来作辅助线求解.

练习2（2015・龙东）如图4，O的半径是2，AB是O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）

A.60°

B.120°

C.60°或120°

D.30°或150°

练习3（2015・威海）如图5，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）

A.68°B.88°

C.90°D.112°

热点三圆内接四边形的性质

例3（2015・南京）如图7，在O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠AED=°.

解：连接CE.四边形ABCE是圆内接四边形，∠B+∠AEC=180°.∠CED=∠CAD=35°，∠B+∠AEC+∠CED=180°+35°=215°.

点评：本题考查了圆内接四边形的性质与同弧所对的圆周角相等的性质，利用性质作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键.

解题对策：圆内接四边形一般多与圆周角定理或推论结合起来考查，解题要找准圆上的四点，利用圆内接四边形的性质将外角与圆周角联系起来，进而与圆心角联系在一起，有时，也需要构造圆的内接四边形来帮助求解，如本例把圆的内接五边形转化为圆的内接四边形来解决.

练习4（2015・长春）如图8，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）

A.45°B.50°

C.60°D.75°

热点四切线的性质与判定

例4（2015・绥化）如图9，以线段AB为直径作O，CD与O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC.

（1）求证：AC是O的切线；

（2）若BD=OB=4，求弦AE的长.

解：（1）证明：连接OE.CD与圆O相切，OECD.∠CEO=90°.

BE∥OC，∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB.OB=OE，∠OBE=∠OEB.∠AOC=∠EOC.

OA=OE，OC=OC，AOC≌EOC.∠CAO=∠CEO=90°.AC与圆O相切.

（2）在RtDEO中，BD=OB，BE=12OD=OB=4.OB=OE，BOE为等边三角形.

∠ABE=60°.AB为圆O的直径，∠AEB=90°.AE=BE・tan60°=43.

点评：此题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键.

解题对策：切线的性质定理和判定定理是中考的高频考点.（1）根据切线的性质就能得垂直，即出现圆的切线，连接半径得垂直.简述：见切点，连半径，得垂直.

（2）证明直线是切线时，一般采用以下两种方法：①若已知直线与圆有交点，则连接过这一点的半径，证明这条半径与直线垂直.简述：有交点，连半径，证垂直.②若直线与圆无交点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径.简述：无交点，作垂直，证半径.

练习5（2015・湖州）如图10，已知BC是O的直径，AC切O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连接DE.

（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；

（2）求证：ED是O的切线.

热点五正多边和圆的计算

例5（2015・营口）圆内接正六边形的边心距为23cm，则这个正六边形的面积为cm2.

解：如图11，连接OA，OB，过点O作OGAB于G.由题意，得OG=23，∠AOB=360°6=60°.OAB是等边三角形.∠AOG=12∠AOB=30°.在RtAOG中，OA=OGcos30°=4，即AB=OA=4.这个正六边形的面积为6×12×4×23=243.

点评：此题考查了正多边形的面积计算.圆的内接正六边形非常特殊，它的半径和边长相等，所以一个正六边形可以看成由六个全等的等边三角形组成.解答本题需要过正六边形的中心作边的垂线，连接半径，构造出直角三角形，利用直角三角形的有关知识解决.

解题对策：正n边形的两条相邻的半径和它的一条边可以把正多边形分成n个全等的等腰三角形，而边心距又把每个等腰三角形分成两个全等的直角三角形，因此解决正多边形的计算问题实际上可以转化为解直角三角形的问题.

练习6（2015・西宁）一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）

A.12mmB.123mm

C.6mmD.63mm

热点六弧长、扇形的面积及相关计算

例6（2015・黄石）在长方形ABCD中，AB=16，如图12所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥的底面圆半径为（）

A.4B.16

C.42D.8

解：设所围圆锥的底面半径为r，则90π×16180=2πr.解得r=4.

点评：本题考查了和扇形、圆锥有关的计算，解题的关键是能够判断出扇形的弧长等于所围成的圆锥底面圆的周长.

解题对策：解这类问题，要熟记三个公式：弧长公式l=nπR180；扇形面积公式S=nπR2360=12lR；圆锥的侧面积公式S侧=πrl（l为圆锥的母线，r为底面圆的半径）.另外，要明确扇形与圆锥间的联系，即扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

例7（2015・河南）如图13，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CEOA交AB于点E.以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D.若OA=2，则阴影部分的面积为.

解：连接OE，AE.点C为OC的中点，CEOA，sin∠CEO=12.∠CEO=30°.∠COE=60°.CE=OE・sin60°=3.S阴影=S扇形ABO-S扇形CDO-（S扇形AOE-SCOE）

=90π×22360-90π×12360-（60π×22360-12×1×3）=34π-23π+32=π12+32.

点评：本题考查了扇形的面积计算，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积求解.

解题对策：求阴影部分的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常通过平移、旋转、分割等方法，把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差，使复杂问题简单化，便于求解.

练习7（2015・聊城）如图14，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使AB和AC都经过圆心O，则阴影部分的面积是O面积的（）

A.12B.13

C.32D.35

练习8（2015・恩施）如图15，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于.

练习答案

1.432.C3.B4.C

5.（1）连接CD.BC是O的直径，∠BDC=90°，即CDAB.

AD=DB，OC=5，CD是AB的垂直平分线.AC=BC=2OC=10.

（2）连接OD.∠ADC=90°，E为AC的中点.DE=EC=12AC.∠CDE=∠ECD.OD=OC，∠ODC=∠OCD.AC切O于点C，ACOC.∠CDE+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°，即DEOD.ED是O的切线.

6.A7.B8.10π