教学中重视数学思想方法的挖掘

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数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．因此，在数学教学中时刻要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．虽然数学习题浩瀚无边，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在。以下就本人在九年级上册等腰三角形一节教学中对常用的数学思想方法做一个探究，供同仁参考。

1.分类讨论的方法

有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的

例1已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）

A.20°B.120° C.20° 或120° D.36°

解析:本题只说明等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，并没有说明底角与顶角的大小关系，因此要分两种情况进行讨论,当底角的度数∶顶角的度数=1∶4;或当底角的度数∶顶角的度数=4∶1时，从而可得两解，故可选择C。

例2等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为。

解析:本题应分两种情况进行讨论，当腰长为4时，由于4＋4＝8＜9，所以此种情况不存在；当腰长为9时，9＋9＞4，满足条件.所以第三边长为9。

点评：解决此类问题，关键要分清等腰三角形的腰与底边，当题目未明确说明时，应分类讨论。

2.方程思想的方法

例3 已知：如图1，ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动。设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PBQ是等边三角形?

（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形?

解析：本题是动态问题，可采取“动中取静，静中求解”的策略. 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm。

ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，BP＝（3－t） cm．

PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，

（1）PBQ是等边三角形, 则BP=BQ, 即3－t＝t, t＝ （秒）

答：当t＝ 秒时,PBQ是等边三角形

（2）若PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°。

当∠BQP＝90°时，BQ＝ BP。即t＝ （3－t），t＝1 （秒）。

当∠BPQ＝90°时，BP＝ BQ。3－t＝t，t＝2 （秒）。

答：当t＝1秒或t＝2秒时，PBQ是直角三角形

点评：方程（组）思想是数学学习中的一个重要思想，它是通过设未知数，利用题意来设法建立方程（组），将几何问题用代数的知识和方法来解决，是常采用的方法之一。

3.化归思想方法

在解决某些数学问题时，我们常采用转化手段，将待解决的问题归结为相对容易解决或已有固定解决程式的另一问题，通过对这一问题的解决，得到原问题的解答。这种处理问题的方法就是化归。它是转化和归结的简称，是解决数学问题的一般思想方法。选择恰当的转化手段进行正确有效的化归是解决问题的关键

例4． 如图2，梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且ACBD，AD=3，BC=5，求AC的长。

解析：过 D作DEAC交BC的延长线于E，则得AD=CE、AC=DE．所以BE=BC+CE=8。

ACBD，BDDE。AB=CD， AC＝BD，GD=DE。

在RtBDE中，BD2＋DE2=BE2

BD＝BE=4 ，即AC=4 。

点拨：本题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过

平移对角线将等腰梯形转化为等腰直角三角形和平行四边形，使问题得以解决。

4.一般与特殊思想的方法

“特殊”问题往往比“一般”性问题显得简单、直观和具体，容易解决。在某个数学问题难以解决时，常可先研究它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的方法或结果应用、推广到一般问题上而获得解决。

例5如图甲，正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，两个正方形的边长相等，那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（定值），想一想为什么？

解析： 一般情况下，两个正方形重叠部分是一个四边形（图甲阴影部分），不易确定其面积的大小。不妨将绕O旋转的正方形置于特殊位置（图乙），此时易得重叠部分（AOB）的面积是正方形ABCD面积的，余下的问题就是证明在一般情形下（图甲），重叠四边形OEAF的面积等于OAB面积。用割补法，证OAE≌ODF即可。

点拨：“特殊”问题往往比“一般”性问题显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决方法。

数学教学中，善于抓住数学的思想方法，懂得削枝强干，对内容所蕴含的思想方法加以挖掘，能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动发展，使他们终身受益。真正体现新课程理念――数学教育是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。