二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数与图像的关系

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二次函数是初中数学教学中一个典型的体现数形结合思想的内容，在这一章内容的学习中，要让学生看到数脑子里出现形，看到形也要联想到数。本文重点介绍二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的系数与其图像的关系.

一、 知识归纳

1. 二次项系数a （a≠0）

a 的符号决定抛物线的开口方向，当a>0 ，抛物线的开口向上，当a

2. 二次项系数a与一次项系数b

二次项系数a与一次项系数b共同决定了抛物线的对称轴的位置.抛物线的对称轴为：x=－ ，当a，b同号时x0,对称轴在y轴的右侧.而当b=0时，对称轴为y轴，也可记作对称轴为x=0.所以可以简记为：左同右异.

3. 常数项系数c

常数项系数c决定抛物线与y轴的交点.抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），当c>0, 抛物线与y轴交于y轴的正半轴；当c

4. 判别式b－4ac

判别式b－4ac决定了抛物线与x轴的交点情况，当b－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，当b－4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点，当b－4ac

5. 二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的几个特例

当x=1 时，y=a+b+c，所以a+b+c的正负，就是函数当x=1时的函数值.当x=－1时，y=a－b+c，所以a－b+c的正负，就是函数当x=－1时的函数值.类似的可以判断4a+2b+c以及4a－2b+c的正负.

反之，也可以根据已知抛物线的图像来确定二次函数的系数.根据图像的开口方向，可以确定系数a的符号；根据图像的对称轴位置结合a的符号（用上面的第二点，同左异右），可以确定b的符号；根据图像与y轴的交点的位置可以确定c的符号；根据图像与x轴的交点情况可以确定判别式b－4ac的正负；对于a+b+c与a-b+c 符号的确定，即为x=1和x=－1时y的值，根据图像即可确定符号，类似的可以确定4a+2b+c与4a-2b+c的符号.

二、 精讲点拨

例1（2008年龙岩市）已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确（）

A． a＞0，c＞0 B． a＜0，c＜0

C． a＜0，c＞0 D． a＞0，c＜0

解析这是一道简单类型题，可直接由开口和图像与y轴的交点可得D正确.

例2（2008年巴中市）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列说法不正确的是（）

A． b－4ac>0

B． a>0

C． c>0

D． －

解析因本题是要求在结论中找出错的，直接观察图像便知A、B、C是显然正确，对于D因其对称轴在y轴的右边.则知选D.

例3（2008年安徽）如图为二次函数y=ax＋bx＋c的图像，在下列说法中：

① ac＜0；② 方程ax＋bx＋c=0的根是x=－1,x= 3

③ a＋b＋c＞0；④ 当x＞1时，y随x的增大而增大.

正确的说法有.（把正确的答案的序号都填在横线上）

解析根据图像可得a>0,c

因x=1时图像在x轴下方，则a＋b＋c＞0；因对称轴是x=1,则④正确.所以选①②④.

例4（2008年丽水）如图所示，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图像经过点（－1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x，x，其中－2

A． 1个 B． 2个

C． 3个 D． 4个

解析对于①由x=-2知图在x轴下方知正确；由对称轴知②正确；由开口方向和x，x的位置知③正确；对于④由图可知：0

三、 矫正反馈

1． 在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（）

2． 小明从图所示的二次函数y=ax+bx+c的图像中，观察得出了下面五条信息：① c0；③ a－b+c>0；④ 2a－3b=0；⑤ c－4b>0，你认为其中正确信息的个数有（）

A． 2个 B． 3个

C． 4个 D． 5个

3． 已知二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．

A. 4个 B. 3个

C. 2个 D. 1个

参考答案

1. 选D.2. 选C.3．选C.