中考二次函数解题初探
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摘 要:中考中二次函数的综合题对考生来说有一定难度,需思考怎样引导学生进行方法归纳,把数形结合,理解到位,运用到位。
关键词:中考 二次函数 方法
在近几年中考中有如下二次函数题,这道题目考查的知识点多,综合性较强,解题灵活多变。考生在做这样的题时,认为难度较大,其实这样的题也有一定的方法,只要掌握方法,也能灵活解决。
例题:(2009年陕西中考题)如下图:在平面直角坐标系中,OBOA且OB=2OA,点A的坐标是(-1,2).
(1)求点B的坐标;
(2)求过A、O、B的抛物线的解析式;
(3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P,使得SABP=SABO.
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在解本题的问题时,我们应从以下几方面入手:
1.找出适当的切入点:在找切入点时,应加强条件的分析和挖掘。本题有三个条件:(1)A(-1,2);(2)OBOA;(3)OB=2OA。这个题又是一道解答题,所以A的坐标就是一个切入点,通过做辅助线AEx轴,就可得:AE=2,OE=1,这样一来RtAEO的三边就成为已知条件。
2.找出关系,灵活运用:题目中的OBOA,OB=2OA。当过B点作BFx轴于点F时,RtOFB与RtAEO就相似了。运用OB=2OA和相似三角形的性质就可以得出B点的坐标,即B(4,2)。
3.本题分析到这一步,下面的问题就容易解决了。第(2)问中求过A、O、B的抛物线的解析式。A、O、B的坐标都已知,可以用待定系数法求解:y=■x2-■x
4.在(2)中的抛物线上求出点P,使得SABP=SABO,这是一个存在性问题,讨论问题要全面,不能多解,也不能漏解。三角形面积要相等,必须是同底(等底)同高(等高)的面积相等,而ABO的面积为定值,底AB=5且AB∥x轴,AB边上的高为2,这样可做AB的平行线且到AB的距离等于2。这样的平行线有两条,与抛物线就有4个交点,而交点的纵坐标值为已知的是0和4。实际解两个一元二次方程就可以得出点P的横坐标,即:P1(0,0);P2(3,0);P3(■,4);P4(■,4)。
近几年的中考都有类似上述二次函数的综合性题目。对学生来说,做这样的题,既有分析问题上的难度,又有综合运用上的难度。这两个难度产生的原因有三点:①数形结合应用不到位;②对于图形和函数的性质理解不到位;③综合分析问题能力不到位。要解决这几个不到位的问题,老师在引导学生复习时,要做好以下几个方面:
第一,加强数形结合的思想。数形结合的问题,许多是在平面直角坐标系中讨论问题。数与形的结合点,由坐标可以推断线段的长,反过来,由线段的长度可以确定点的坐标。在这个确定过程中可能用到解直角三角形的知识和相似三角形的知识。我们运用这知识把线段的长度和点的坐标有机地结合起来,数形结合的问题就达到理解和运用了。
例如在平面直角坐标系中,图形的变化与坐标的关系。这里的图形变换包括对称变换、平移变换、旋转变换。即关于x轴对称两个图形中的对应点的坐标关系是横坐标不变,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两个图形的对应点的坐标关系是横坐标互为相反数,纵坐标不变;关于坐标原点对称的两个图形的对应点的坐标关系是横坐标纵坐标均互为相反数。平移变换,包括沿x轴正反方向平移,图形的坐标关系为:正向横坐标加,反向横坐标减,纵坐标不变;沿y轴正反方向平移,坐标关系为横坐标不变,纵坐标正向加,反向减。而对于旋转特殊角:30°,45°,60°后的图形的坐标可以计算。图形与坐标是数与型结合的一个基本知识点,这部分内容也是我们建立数与形结合的一个模型。另外,在平面直角坐标系中,对多边形的面积计算,常用方法是对多边形进行分割,根据点的坐标的定义把它分为直角三角形和直角梯形进行计算,这也是数与形结合的一种运用。
第二,做好基础知识的理解。图形的性质、判定、函数的性质,在复习时,要加强记忆、理解和运用,要能熟练地说出某个图形函数的性质。在具体问题中,会根据条件判断出图形具有什么特征,可以由这些特征确定解题方法和思路。
如函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c的正负将确定抛物线的开口方向;对称轴位置,对称轴两边函数随自变量的变化情况;顶点坐标及与y轴交点的位置,抛物线在坐标平面内平移与顶点式y=a(x-h)2+k的变化关系。这些函数的性质,不仅要记忆而且要理解和会运用。另外像直角三角形、等腰三角形、等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质,也是解这部分题的基础。所以学生在数学学习过程中,要加强基础知识的理解和运用。
第三,培养学生的综合运用能力。多题一解,对学过的题型归类和解决问题方法归类,对学过的知识条理化、系统化;一题多解,增强学生思考、解决问题的灵活性、多样性。要精讲精练,选择例题时要具有代表性、一般性和普遍性。练习要精心设计,达到复习、巩固、提高的目的。
总之,学生在考试中解这类题时,加强审题,由条件推断函数具有何种特性,图形具有什么特征。利用这些特性和特征结合图像和图形,综合分析,确定出合理的解题方法。
作者单位:陕西省旬阳县城关镇金洞初级中学
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