斜面上的自锁现象

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有这样一道题：如图1所示，在固定斜面上放小物体A，物体与斜面间的静摩擦因数为μ0，求斜面倾角α的最大值αmax，当α≤αmax无论铅直压力F多么大，A也不会滑下.

解析要使A不会下滑，A处于平衡状态，如图2对A进行受力分析，由平衡条件得

FN=Fcosα+mgcosα（1）

f=Fsinα+mgsinα（2）

A不会下滑，则需满足f≤fmax，

其中fmax=μ0FN（4）

（1）、（2）、（3）、（4）得

（F+mg）sinα≤μ0cosα（F+mg），

无论F多大，由于左右两边（F+mg）消掉了，只要满足tanα≤μ，A就不会下滑，μ是定值，当tanα=μ0时 α有最大值αmax=arctanμ0，即当α≤αmax无论铅直压力F多么大，A也不会滑下.

上题中的这种现象叫做自锁.在实际中有它的应用：有一种起重装置叫做“千斤顶”如图3所示，转动手柄G就可以将重物顶起，将重物顶起后，松开手柄，螺杆并不会再重压下反向旋转而掉下来，利用螺旋举起重物，在外力撤消后还不滑下来的现象，叫做螺旋的自锁.把一张直角三角形的纸片卷起来，就成为螺旋，如图4所示，螺旋倾角就是三角形斜边的倾角，千斤顶的螺杆在支座的螺纹内螺旋上升，相当于一物体沿斜面向上滑

动.与例题比较，螺杆相当于物体A，支座相当于斜面，重物对千斤顶的压力相当于F，螺旋自锁相当于物体A在力F作用下不下滑，由例题可知，螺旋自锁则螺旋倾角应满足tanα≤μ，这叫做螺旋的自锁条件.

在2012年高考理综试题（宁夏卷）第24题就以自锁现象为背景考查平衡问题.题目如下：

拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图5）.设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小.（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动.求这一临界角的正切tanθ0.

解析（1）设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把.对拖把进行受力分析，如图6所示由平衡条件得

Fcosθ+mg=FN（1）

Fsinθ=f（2）

又因为f=μFN（3）

联立（1）、（2）、（3）式得F=μmgsinθ-μcosθ.

（2）若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有

f 静≤λFN（1）

又由平衡条件得

Fcosθ+mg=FN（2）

Fsinθ=f 静（3）

（2）、（3）代入（1）式得sinθ-λcosθ≤λmg/F.

注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有sinθ-λcosθ≤0，即tanθ≤λ，λ是定值，θ0是最大值tanθ0=λ.

当θ≤θ0时，tanθ≤λ 成立，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把.故临界角的正切为tanθ0=λ.