二面角求法赏析

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摘 要：求二面角的大小是高考中经常出现的问题，本文归纳了常见的求解二面角的方法，通过对问题探索与解法反思不断提高解题能力.

关键词：二面角求法；定义法；三垂线定理；向量法；射影面积法

求二面角的大小是高考中经常出现的问题，因此我们得引起高度重视.只有在平时学习中多积累有关二面角的题型和掌握常见求解二面角的方法才能在问题探索与解法反思中不断提高解题能力. 本文就求二面角的方法作如下归纳，供读者借鉴与参考.

方法一 利用二面角的平面角的定义求作平面角

利用二面角的平面角的定义，过棱上某一点作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所成的平面角即是二面角的平面角.一般地，可以经过棱上的特殊点，如中点、分点、端点等作平面.

例1 （2010重庆理）如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点.

图1

（1）求直线AD与平面PBC的距离；

（2）若AD=，求二面角AECD的平面角的余弦值.

解：（1）略.

（2）过D作DFCE，交CE于F；过点F作FGCE，交AC于G，则∠DFG为所求二面角的平面角.

由（1）知BC平面PAB，又AD∥BC，所以AD平面PAB.

故ADAE，从而DE==. 在RtCBE中，有CE==.由CD=知CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin=. 因为AE平面PBC，所以AECE. 又由FGCE知FGAE，从而FG=，且为AC的中点. 连结DG，则在RtADC中，DG=AC==.

因此cos∠DFG==，即二面角A-EC-D的平面角的余弦值为.

例2 （2010天津理）如图2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.

（1），（2）略；（3）求二面角A1－ED－F的正弦值.

图2

解：（1），（2）略.

（3）设AB=1，连结A1N，FN. 由（2）知DE平面ACF，所以DENF，DEA1N，故∠A1NF为二面角A1EDF的平面角. 易知RtCNE∽RtCBA. 所以=. 又AC=，所以CN=. 在RtNCF中，NF==，在RtA1AN中，NA1==. 连结A1C1，A1F. 在RtA1C1F中，A1F ==.

在RtA1NF中，cos∠A1NF==，所以sin∠A1NF=. 故二面角A1EDF正弦值为.

方法二 利用三垂线法作平面角

我们把用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法称为三垂线法. 其作图模型为：

如图3，在二面角α-l-β中，过平面α内一点A作AO平面β，垂足为O，过点O作OBl于B（或过A点作ABl于B），连结AB（或OB），由三垂线定理（或逆定理）知ABl（或OBl），则∠ABO为二面角α-l-β的平面角．

图3

作图过程中，作出了两条垂线AO与OB（或AB），后连结AB（或OB）.

这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”． “第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中有以下几种情况：

1． 善于利用图中已有的“第一垂线”

例3 （2010安徽理）如图4，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EFFB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点.

?摇?摇（1）（2）略；（3）求二面角B－DE－C的大小.

图4

解：（1）（2）略.

（3）因为EFFB，∠BFC=90°，所以BF平面CDEF. 在平面CDEF内过点F作FKDE，交DE的延长线于K，则∠FKB为二面角B－DE－C的平面角. 设EF=1，则AB=2，FC=，DE=.

又EF∥DC，所以∠KEF=∠EDC， sin∠KEF=sin∠EDC=，且FK=EF•sin∠KEF=，因此tan∠FKB==，从而∠FKB=60°，即二面角B－DE－C的大小为60°.

2． 借助第三个平面，作“第一垂线”

例4 （2010四川理）已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.

（1）略；（1）求二面角M－BC′－B′的大小；（3）略.

图5

解：（1）略.

（2）取BB′的中点N，连结MN，则MN平面BCC′B′.过点N作NHBC′于H，连结MH，则由三垂线定理得BC′MH，从而∠MHN为二面角M－BC′－B′的平面角. 因为MN=1，NH=BNsin45°=，所以在RtMNH中，tan∠MNH==2.

故二面角M－BC′－B′的大小为arctan2.

（3）略.

例5 （2010全国Ⅱ卷文）如图6，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC=BC，AA′=AB，D为BB′的中点，E为AB′上的一点且AE=3EB′.

（1）略；（2）设异面直线AB′与CD的夹角为45°，求二面角A′－AC′－B′的大小.

解：（1）略.

（2）因为DG∥AB′，所以∠CDG为异面直线AB′与CD的夹角，故∠CDG=45°.

设AB=2，则AB′=2，DG=，CG=，AC=.

作B′HA′C′，H为垂足.因为底面A′B′C′平面AC′，所以B′H平面AC′. 过H作HKAC′，K为垂足，连结B′K.

由三垂线定理得B′KAC′.所以∠B′KH为二面角A′－AC′－B′的平面角.

又B′H==，HC′==，AC′=. 由相似知=，所以HK=，故tan∠B′HK==.

因此二面角A′－AC′－B′的大小为arctan.

方法三 利用线线角

欲求α，β两平面所成的二面角，可找分别与α，β两平面垂直的两直线，记为a，b，则直线a，b所成的角或其补角为α，β两平面所成的角. 此法是把求面面角的问题转化为求线线角的问题.

例6 （2010陕西理）如图7，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点.

（1）证明：PC平面BEF；

（2）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.

解：（1）略.

（2）因为PA平面ABCD，所以PABC. 又因为四边形ABCD为矩形，所以ABBC. 又PA∩AB=A，故BC平面BAP. 由（1）知PC平面BEF，故PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角.

在PBC中，PB=BC，∠PBC=90°，故∠PCB=45°，即平面BEF与平面BAP的夹角为45°.

方法四 利用向量求二面角的大小

利用两个半平面的法向量或利用在两个半平面内都垂直棱的两个向量的夹角求二面角的大小. 向量的夹角方向性，向量的夹角可能是二面角的大小也可能是其补角，用平面的法向量求时也是如此，特别是未给出二面角的棱时，用向量求角更有利.

策略一，利用在两个半平面内都垂直棱的两个向量的夹角.

例7 如图8所示，空间四边形PABC中，∠APC=90°，∠APB=60°，PB=BC=4，PC=3，求二面角B－PA－C的余弦值.

图8

解：作BDAP，D为垂足.因为 CPAP，所以二面角B－PA－C的大小等于.

在RtPBD中，BD=PB•sin∠DPB=2，DP=PB•cos∠DPB=2.

因为=++，所以2=2+2+2+2•+2•+2•，即42=（2）2+22+32+2×2×3cos. 解得cos= －，cos=，即二面角B－PA－C的余弦值为.

策略二，利用平面的法向量求解.

设n1是平面α的法向量，n是平面β的法向量. ①若两个平面的法向量如图9所示的示意图，则n1与n2之间的夹角就是欲求的二面角；②若两个平面的法向量如图10所示的示意图，设n1与n2之间的夹角为θ，则两个平面的二面角为π－θ.

例8 如图11，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SCD与平面SAB所成二面角的大小.

图11

解：平面SAB的法向量是，平面SCD的法向量可设为n=λ+μ+.

因为SA平面ABCD，所以•=0，•=0，•=0.

又ABAD，ABBC，故•=0，•=0.

由n•=（λ+μ+）•（++）=－λ2+λ•+μ2=－λ+λ+μ=λ+μ=0，又n•=（λ+μ+）•（－）=2－λ2=1－λ=0，所以λ=4，μ=－1，故n=4－+，因此n•=（4－+）•=42=1.

因为n2=（4－+）2=162+2+2=6，所以n=.

设θ表示平面SCD与平面SAB所成二面角，则cosθ==，所以θ=arccos.

方法五 利用坐标法求二面角的大小

所谓坐标法，就是建立空间直角坐标系，求出二面角两个半平面的法向量m，n，则m，n两向量所成的角或其补角的大小就是二面角的大小.此法是高考求二面角的常用方法，思维简单但有一定计算量，因此要求学生有较高的运算能力，运用此法时要清楚二面角为锐角或钝角.

例9 （2010江西）如图12，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB=2.

（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；

（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.

图12

解：（1）略.

（2）取CD中点O，连结OB，OM，则OBCD，OMCD. 又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.以O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.

因为OB=OM=，所以C（1，0，0），M（0，0，），B（0，－，0），A（0，－，2）. 易得=（－1，0，），=（－1，－，2），设平面ACM的法向量为n1=（x，y，z），由n1n1 得－x+z=0，－x－y+2z=0，解得x=z，y=z. 取n1=（，1，1）. 又平面BCD的法向量为n=（0，0，1），则cos==. 设所求二面角为θ，则sinθ==.

例10 （2010湖北文）如图13，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.

（1）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQOA；

（2）求二面角OACB的平面角的余弦值.

解：（1）略.

（2）过O作ONAO交AB于N，以O为原点，直线OA，ON，OC为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），C（0，0，1），B－，，0. 因为P为AC的中点，所以P，0，. 记平面ABC的法向量为n=（n1，n2，n3），由n，n，且=（1，0，－1）得n1－n3=0，－n1+n2=0，故可取n=（1，，1）.

又平面OAC的法向量为e=（0，1，0），所以cos==.

设所求二面角为θ，则cosθ=.

方法六 利用射影面积法求二面角的大小

已知ABC的边BC在平面α内，顶点A?埸α. 设ABC的面积为S，它在平面α内的射影面积为S1，且平面α与ABC所在的平面所成的二面角为θ，则cosθ=，再根据θ的范围求θ.

例11 （2010浙江理）如图14，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=BE=AF=FD=4. 沿直线EF将AEF翻折成A′EF，使平面A′EF平面BEF.

（1）求二面角A′－FD－C的余弦值；

（2）略.

解：（1）取线段EF的中点H，AF的中点G，连结A′G，A′H，GH.

?摇?摇因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′HEF.

又因为平面A′EF平面BEF，所以A′H平面BEF. 由题有FD=6，A′H=2，GH=2，A′G=2. 设二面角A′－DH－C的大小为θ，则cosθ=====.

故二面角A′－FD－C的余弦值为.