由三角形中A=2C引发的思考
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我们知道，正弦定理、余弦定理对一般三角形中的边角关系作了很好的诠释.那么，当三角形中给定的两内角成两倍关系时，对于其边角关系及引出的其它问题我们还能想到哪些呢？
下面将对普通高中课程标准实验教科书《数学》（人教版）必修5第一章《解三角形》P25B组第3题作进一步的探究.
一、提出问题
如图-①，三角形中ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.设A=2c=2θ.
（1）试分析三边a、b、c的关系；
（2）试求满足三边为连续正整数的三角形；
（3）试求f（θ）=■的取值范围；
（4）给定满足一定条件的a、c两边，如何用直尺与圆规作出A=2C的三角形？
二、分析解答
【分析】
在第（1）问中，由三角形内角和定理A+B+C=π可知0
在第（2）问中，当∠C在0，■内变化时，找出a、b、c三边的大小关系，再利用第（1）中的结论与三个连续正整数这一条件解得.
在第（3）问中，由第（2）问得f（θ）的更具体的解析式，利用第（1）问中的三边关系可求出f（θ）的取值范围.
针对第（4）问，利用第（1）问中找出的三边关系先作出线段b，进而作出符合条件的三角形.
【解答】
（1）先证明：sin3θ=4sinθcos2θ-sinθ.
证明：sin3θ=sin（θ+2θ）
=sinθcos2θ+cosθsin2θ
=sinθ（2cos2θ-1）+2sinθcos2θ
=4sinθcos2θ-sinθ.
由三角形中的正弦定理得：■=■=■.
即 ■=■=■.
即 ■=■……■=■……
由得：cosθ=■.
因为0
由得：■=■，即c=■.
结合得：c4■2-1=b，即a2-c2=bc，故a2=c（c+b）……（？鄢）
（2）①当0
②当θ=■时，则π-3θ=2θ，故2C=A=B，此时，c
③当■
⑤当■
（3）先将f（θ）=■的表达式具体化.由上面第（2）问可知：
①当0
cb，a2=c（c+b） ？圯■
②当θ=■时，如图-③， f（θ）=■=■.由（1）中a=b，a2=c（c+b） ？圯■=■，故f（θ）=■.
③当■
c
■，■.
④当θ=■时，如图-⑤，c=b
c=b，a2=c（c+b） ？圯■=■，故 f（θ）=■.
⑤当■
（1）中b=■，得 f（θ）=■.又由b
综上所述， f（θ）∈[■，+∞）.
（4）当给定了a、c两边的长（c
【已知】线段PQ=c，ST=a，其中c
【求作】三角形ABC，使a、c两边所对的∠A、∠C满足A=2C.
【分析】由（1）中a2=c（c+b）……（？鄢），即（a+c）（a-c）=bc，想到相交弦定理而产生的作图方法.在上图中，由DA·AE=FA·AC，即（a+c）（a-c）=c·AC，得AC=■=b.
【作法】步骤如下：
①以点B为圆心，a 为半径画圆，直径DE=2a；
②在BE上取BA=c，以A为圆心画弧交圆B于F，连接FA并延长交圆B于C；
③连接BC得符合条件的三角形ABC，如图-⑦.
【证明】如图-⑧，连接FB并延长交圆于H，连接CB并延长交圆于G，由作图可知：BA=AF，故∠BAC=2∠BFA.又由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故∠BAC=2∠BFA=∠CBH=∠FBG=2∠C.
即在三角形ABC中，A=2C.得证.
【点评】若能对课本原题多加思考，随之探究、联想、创新，你将终有所得.在这一过程中，提出问题是关键，通过解决问题培养数学能力.在解决问题时兼顾几何方法，有时几何方法显得快捷方便.正如华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数无形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离.”
三、实践应用
【例一】三角形的三个内角分别为？琢，？茁，？酌，且？琢≥？茁≥？酌，？琢=2？酌，则有（ ）
A. 36°≤？茁≤45° B. 45°≤？茁≤60°
C. 60°≤？茁≤90° D. 45°≤？茁≤72°
【解析】注意到？琢+？茁+？酌=180°，？琢=2？酌，所以2？酌+？茁+？酌=180°，？酌=60°-■？茁，？琢=120°-■？茁.因为？琢≥？茁≥？酌，所以，120°-■？茁≥？茁≥60°-■？茁，所以60°≤■？茁，且■？茁≤120°，所以45°≤？茁≤72°，应选D.
【例二】设a、b、c分别是的ABC三个内角A、B、C所对的边，则a2=c（b+c）是A=2C的（ ）
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而充分条件 D. 既不充分又不必要条件
【解析】由A=2C显然可得a2=c（b+c），前面已证.下证ABC中当a2=c（b+c）时A=2C.几何证法前面已证，下面用另一方法证明：
首先cosA=■=■=■.
由cosC=■=■=■，故cos2C=2cos2C-1=2■2-1=■=■=■=cosA.
【例三】ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a=■b，A=2B，则cosB =（ ）
A. ■ B. ■ C. ■ D. ■
【解析】（方法一） 在ABC中，a=■b，A=2B，
sinA=■sinB，sinA=sin2B=2sinBcosB，cosB=■， 故选B.
（方法二） 在ABC中，a=■b，A=2B，a=■b，a2=b（b+c）， a=■b，c=■b， 故由余弦定理得cosB=■， 故选B.
【例四】在锐角ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设A=2C， 则■的取值范围是 （ ）
A. （-2，2） B. （0，2）
C. （■，2） D. （■，■）
【解析】选D.因为■=■=■=2cosC.
又ABC是锐角三角形，A=2C90°， 30°
【点评】以上例题都是在三角形中含有一个角是另一个角的两倍情形.在解这类三角形问题时，可否记得前面已经得到的结论？即三角形ABC中，若A=2C，则a2=c（c+b）哦.
本文主要对课本中的一道习题作了进一步的探讨，至于联想类比方面，有待以后再作分析.即若类比到三维空间，如底面为正三角形的三棱锥中，当一侧面与底面所成的二面角是另一侧面与底面所成的二面角的两倍时，三侧面面积是否存在某种数量关系？
常对课本原题多加思考、探究、联想、创新，就如“好曲不厌百回唱，好书不厌百回读”一样，重读课本如逢故知.最后，我们用“处处留心皆学问，课本习题探真经”结束本文.
（作者单位：江门市新会华侨中学）
责任编校 徐国坚