鞅在破产概率中的应用
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【摘要】本文用鞅方法研究了几个风险模型破产概率的Lundberg界及表达式等问题.
【关键词】鞅方法;破产概率 Lundberg上界
在破产概率中，关于Lundberg不等式和破产概率表达式是核心问题，许多风险模型都是围绕着这两个问题深入探讨.通常情况我们从数学的角度，应用鞅方法及积分微分法等来研究破产概率.其中，鞅方法显得尤为重要，它对一切满足平稳独立增量的风险模型都适用，因此是研究风险模型的主要方法之一.
经典风险模型U1（t）=u+ct-∑N（t）i=1Xi，t≥0.U1（t）是资本盈余，u是初始资产，c是单位时间保费收入，S1（t）=ct-∑N（t）i=1Xi，t≥0是净盈余过程，其中{N（t）;t≥0}为参数为λ的泊松过程，N（t）表示0，t内理赔到达次数，Xi表示第i次索赔额的大小，且为独立同分布的随机变量，假定N（t）与Xi相互独立.
定义破产时刻为Tu（1）=inft≥0U1（t）<0.无穷时间破产概率为ψ1（u）=P（inf0
引理1.1 对于风险过程{U1（t）：t≥0}，一定存在函数g（r），使得E[e-rS1（t）]=etg（r）.
证明 E[e-rS1（t）]=e-rct∑∞k=0（αt）kk！e-αt（h（r）+1）=et（ah（r）-rc），设h（r）=crα.
令g（r）=αh（r）-rc，从而引理得证.
定理1.1 在风险过程{U1（t）：t≥0}下，无穷时间破产概率满足不等式ψ1（u）≤e-Ru，其中R=supr>0{r：g（r）≤0}.
证明 因为Tu（1）是F停时，不妨设t0<∞，由引理有e-ru=Mu（0）≥E[Mu（Tu（1））Tu（1）≤t0]P{Tu（1）≤t0}.
又{Tu（1）<∞}，u+S1（Tu（1））<∞，
故p{T（1）u≤t0}≤e-rusup0≤t≤t0etg（r）.
令t0∞，得ψ1（u）≤e-rusupt≥0etg（r）.
取R=supr>0{r：g（r）≤0}，则定理得证.
定理1.2 在风险过程{U1（t）：t≥0}下，无穷时间破产概率为 ψ1（u）=e-RuE[exp（-RU1（Tu（1）））Tu（1）<∞].
证明 e-Ru=E[Mu（Tu（1）∧t0）Tu（1）≤t0]P{Tu（1）≤t0}+E[Mu（Tu（1）∧t0）Tu（1）>t0]I（A）为示性函数，
有0≤E[e-RU1（T0）I（Tu（1）>t0）]≤E[e-RU1（T0）I（U1（t0≥0））].由于0≤e-RU1（T0）I（U1（t0）≥0）≤1，根据强大数定理，当t0∞时U1（t0）∞，a.s，由勒贝格控制收敛定理，有limt0∞E[e-RU1（T0）Tu（1）>t0]P（Tu（1）>t0）=0，a.s.因此定理得证.
2.鞅在具有两类索赔的风险模型破产概率中的应用
具有两类索赔的风险模型U2（t）=u+ct-∑N1（t）i=1Xi-∑N2（t）j=1Yj.记S2（t）=ct-∑N1（t）i=1Xi-∑N2（t）j=1Yj.u是初始资本，ct表示保费总额，{N1（t）;t≥0}表示参数为λ1，ρ的复合泊松几何过程，{N2（t）;t≥0}为λ2的泊松过程，且{Xi;i≥0}和{Yj;j≥0}是独立同分布的.如果{N1（t）;t≥0}，{N2（t）;t≥0}，{Xi;i≥0}，{Yj;j≥0}相互独立.定义破产时刻为Tu（2）=inft≥0U2（t）<0.无穷时间破产概率为ψ2（u）=P（inf0
引理2.1 对于盈利过程{S2（t）：t≥0}，一定存在函数g（r），使得E[e-rS2（t）]=etg（r）.
证明 E[e-rS2（t）]=exp[-rc+λ1（MXi（r）-1）1-ρMXi（r）+λ2（MYj（r）-1）]t.
设g（r）=-rc+λ1（MXi（r）-1）1-ρMXi（r）+λ2（MYj（r）-1），从而引理得证.
定理2.1 在风险过程{U2（t）：t≥0}下，无穷时间破产概率满足ψ2（u）≤e-Ru，其中R=supr>0{r：g（r）≤0}.
证明 因为Tu（2）是F停时，不妨设t0<∞，易知Tu（2）∧t0是F停时，由引理及停时定理有e-ru=Mu（0）=E[Mu（Tu（2）∧t0）]≥E[Mu（Tu（2）∧t0）Tu（2）≤t0]P{Tu（2）≤t0}.因为{Tu（2）<∞}，则u+S2（Tu（2））<∞.
故P{Tu（2）≤t0}≤e-rusup0≤t≤t0etg（r）.令t0∞，得ψ2（u）≤e-rusup0≤t≤t0etg（r）.取R=supr>0{r：g（r）≤0}，则定理得证.
定理2.2 在双风险过程下，R为调节系数，则破产概率为ψ2（u）=e-RuE[exp（-RU2（Tu（2）））Tu（2）<∞].
证明 e-Ru=E[e-RU2（Tu（2））Tu（2）≤t0]P（Tu（2）≤t0）+E[e-RU2（t0）Tu（2）>t0]P（Tu（2）>t0）.
因为0≤E[e-RU2（t0）Tu（2）>t0]P（Tu（2）>t0）≤E[e-RU2（T0）I（U2（t0≥0））].由于0≤e-RU2（T0）I（U2（t0≥0））≤1，
根据强大数定理，当t0∞时，U2（t0）∞ a.s，由勒贝格控制收敛定理，
有limt0∞E[e-RU2（T0）Tu（2）>t0]P（Tu（2）>t0）=0，a.s.因此定理得证.
本文介绍了鞅在破产概率中的两个应用，事实上可以对经典风险模型进行推广，如可以考虑带干扰的风险过程等，对推广的风险模型同样可以利用鞅方法得到Lundberg不等式，由此可见鞅在破产概率中的广泛应用.