图形变换:对称平移共演绎

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1. 平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，我们所学的平移是指平面图形在同一平面内的变换.

2. 图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据.

3. 图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形与原图形相比只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.

由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征.

②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据.

简单的平移作图

平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离.

4. 旋转和平移一样是图形的一种基本变换.

5. 图形旋转的决定因素是旋转中心、旋转方向和旋转的角度.

旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化.

中心对称图形

①定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.

②性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.

③中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角为180°的旋转对称.

④中心对称的判定：如果两个点的连线被某一点M平分，则这两个点关于点M成中心对称.

6. 简单图形的旋转作图两种情况：

①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；

②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点.

作图步骤：

①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；

②顺次连结各点得到旋转后的图形.

图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的.其中中心对称是旋转变换的一种特例.

1. 如图1所示，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）

A. 点M B. 格点N

C. 格点P D. 格点Q

答案 B.

考点关键词 本题目由旋转的概念以及旋转的基本性质入手：对应点到旋转中心的距离相等.

2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）

A B C D

答案 A.

考点关键词 本题目考查了轴对称图形概念. 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；本题要注意观察C答案不是轴对称图形.

3. 小军将一个直角三角板（如图2）绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是（ ）

答案 D.

考点关键词 本题目考查了旋转之后的立体几何图形以及侧面展开图形，主要考查空间想象能力. 将一个直角三角板绕一条直角边所在的直线旋转一周形成一个圆锥，圆锥的侧面展开图形为扇形.

4. 如图3所示，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点， DE=1.以点A为中心，把ADE顺时针旋转90°，得ABF，连结EF，则EF的长等于___________.

答案 2.

考点关键词 解决本题目的关键是根据旋转后的图形全等这个性质以及利用勾股定理求斜边的长度.所以要求EF，可以将其放在RtAEF中利用勾股定理来求，也可以放在RtCEF中来求.

5. 如图4所示，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）_____________.

答案 （8+4）π.

考点关键词 本题目考查了旋转的性质、圆的周长公式. 将36次翻滚分为12组，对3次为一组分析，前2次半径一样都为，后1次半径为1，经过的路径总长为（2π××+2π×1×）×12=（8+4）π.

6. 在如图5所示的直角坐标系中，解答下列问题：

（1）分别写出A、B两点的坐标.

（2）将ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的ABC .

（3）求出线段BA所在直线l的函数解析式，并写出在直线l上从B到A的自变量x的取值范围.

答案 （1）A（2，0），B（-1，-4）.

（2）所画的图如图6所示.

（3）设线段BA所在直线 l 的解析式为y=kx+b（k≠0），因为B（-2，3），A（2，0），所以-2k+b=3，2k+b=0，k=-，b=.所以线段BA所在直线l的解析式为y=-x+，线段BA的自变量x的取值范围是-2≤x≤2.

考点关键词 本题目考查了平面直角坐标系、图形的旋转和用待定系数法解函数关系式.本题首先找出点A（2，0），B（-1，-4）. 第二问先找出B（-2，3）和C（-1，-1），然后连结A、B、C即可. 第三问利用待定系数法设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（-2，3），A（2，0）代入.

7. 如图7所示，将正方形ABCD中的ABD绕对称中心O旋转至GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N. 请猜想BM与FN有怎样的数量关系，并证明你的结论.

答案 猜想BM=FN.在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心，所以BO=DO ，∠BDA=∠DBA=45°. 因为GEF为ABD绕O点旋转所得，所以FO=DO，∠F=∠BDA. 所以OB=OF，∠OBM=∠OFN.

在OMB和ONF中，

∠OBM=∠OFN，ΟΒ=ΟF，∠BOM=∠FON，

所以OBM≌OFN.

所以BM=FN.

考点关键词 本题根据GEF由ABD绕O点旋转所得，利用旋转的性质得到∠OBM=∠OFN，ΟΒ=ΟF，∠BOM=∠FON，进而得到OBM≌OFN.