求解古典概型常见错误剖析

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古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其它概型的基础.现将求解古典概型常见的错误剖析如下.

一、“有序”与“无序”混同，导致基本事件的个数求错

例1从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率.

错解因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7个可能的结果.设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有C13×C37种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件），

剖析该题错在计算所有等可能结果的个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序，而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序.

正解所有可能的结果共有A410个，事件A包含A14・A13・A37个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有A14种方式，对于每种方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有

A14・A13・A37种取法）.

所以P（A）=A14・A13・A37A410=12.

二、“非等可能”与“等可能”混同，对古典概型的等可能性理解不清

例2掷两枚质地均匀的骰子，求事件A=“出现的点数之和等于3”的概率.

错解掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，…，12}，事件A发生的结果只有一种，故

P（A）=111.

剖析

公式P（A）=事件A所含的基本事件数基本事件的总数，

当且仅当所述试验的每个结果是等可能的时候才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只在点数为（1，1）才出现，而3却在两种情况（1，2），

（2，1）时可出现，其它的情况类推.

正解掷两枚骰子可能出现的等可能的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），结果总数为6×6=36.在这些结果中，事件A含有两种结果（1，2），（2，1），故

P（A）=236=118.

三、对古典概型的有限性把握不准而将古典概型误判为几何概型

图1例3甲、乙二人玩数字游戏，先由两人在心中各想一个整数，分别记为x、y，当x、y∈[1，5]，且|x-y|≤1时，则称甲、乙二人“心有灵犀”.求甲、乙二人“心有灵犀”的概率.

错解设甲、乙二人“心有灵犀”为事件A，由于x、y∈[1，5]，且|x-y|≤1，如图1，由几何概型概率公式得，

P（A）=S阴影S正方形=16-916=716.

剖析本题没有注意x、y的取值是整数，忽视了古典概型的有限性.

正解设甲、乙二人“心有灵犀”为事件A，由于x、y∈[1，5]，所以满足条件的整数对共有5×5对，满足|x-y|≤1的整数对 共有13对，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，5），（5，4）.所以甲、乙二人“心有灵犀”的概率P（A）=1325.

四、混淆“无放回抽取”与“有放回抽取”而出错

例4从含有2件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取2次，记“取出的两件中恰有一件次品”为事件A，如果将“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”， 连续取2次，记“取出的两件中恰有一件次品”为事件B，则

A.P（A）=P（B）

B.P（A）P（B）

D. 无法确定

错解每次任取1件，取出后不放回地（或有放回地）连续抽取两次，所有可能的结果是（a1，b1），（b，a1），（a2，b），（b，a2），（a1，a2）共6个基本事件；取出的2件恰有一件次品的事件B包含的结果是（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2），共4个基本事件.所以

P（A）=P（B）=46=23，

选A.

剖析本题错在混淆“每次取出后不放回”与“每次取出后放回”. 从3件产品中不放回地抽取2件和有放回地抽取2件的基本事件都不是很大，可以一一列举出来.

正解（1）每次任取1件，取出后不放回地连续抽取两次，所有可能的结果是（a1，b），（b，a1），（a2，b），（b，a2），（a1，a2），（a2，a1），共6个基本事件；取出的2件恰有一件次品的事件A包含的结果是（a1，b），（a2，b），（b，a2），（b，a2），共4个基本事件.所以

（2）有放回地连续抽取两次，所有可能的结果是（a1，b），（b，a1），（a1，a1），（a2，b），（b，a2），（a2，a2），（a1，a2），（a2，a1），（b，b）共9个基本事件.取出的2件恰有一件次品的事件B包含的结果是（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2），共4个基本事件.

所以P（B）=49.

所以P（A）>P（B），选C.

五、未能正确判断事件的关系，导致概率计算错误

例5同时抛掷两枚质地均匀的骰子，求至少有一个5点或6点的概率.

错解抛掷两枚骰子，基本事件的总数为36.记一枚出现5点为事件A，一枚出现6点为事件B，事件A与事件B包含的基本事件都为11种情形.而事件A与事件B是互斥事件，由古典概型的概率公式，所求的概率

P（A∪B）=P（A）+P（B）=1136+1136=1118.

剖析错解的原因在于：误判事件A与事件B是互斥事件.事实上这里事件A与事件B可以同时发生，不是互斥事件.

正解同时抛掷两枚骰子，可能出现的结果如下表.