一元二次方程根与系数关系的教学设计方案

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教学目标：

（一）知识与技能：让学生掌握，一元二次方程根与系数的关系，会运用韦达定理求已知一元二次方程根之和及两根之积会解决一些简单的问题。

（二）过程与方法：在一元二次方程根与系数的探究过程，培养学生的观察思考、归纳、概括能力，在运用关系、解决问题过程中，培养学生分析问题和解决问题能力，渗透整体的数学思想。

（三）情景态度，通过学生自己探究发现根与系数的关系，增强学生的学习信心，培养科学探究精神。

教学重点：一元二次方程根与系数的关系的探索及运用。

教学难点：如何运用会一元二次方程根与系数的关系。

教学过程设计：

一、复习一元二次方程的一般形式及求根方式

问题1：一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系。

师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式。

设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，并为本节课根与系关系的推导作准备。

二、猜想二次项系数为1时根与系数的关系

问题2：若一元二次方程的两根为x1、x2，则有x-x1=0且x-x2=0，那么（x-x1）（x-x2）=0（x1、x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+bx+c=0的形式，将能看出x1、x2与b、c之间的关系吗？

师生活动：学生独立思考得出方程两根为x1、x2，通过将（x-x1）（x-x2）=0的左边展开化为一般形式得到方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0这个方程的二次项系数为1，一次项系数为b=-（x1+x2），常常数项为c=x1x2，学生独立观察后并讨论后，发现两根之和x1+x2=-b，两根之积为x1+x2=c。

设计意图：通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为1的方程中发现一元二次方程根与系数的关系。

三、猜想并验证一元二次方程根与系数的关系

问题3：一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数a未必是1，它的两个根和积与系数a有怎样的关系呢？

说明：学生有可能利用问题的猜想通过将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）转化为x2+x+=0的形式得出猜想：x1+x2= x1x2=。

师生活动：学生思考后，教师提出如下问题。

教师追问：如何证明两者之间的关系呢？

师生活动：由师生共同完成证明过程。

设x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根所以

x1= x2=

x1+x2=+

x1+x2=-

x1・x2=×

x1・x2=

从而得出一元二次方程的两个根x1x2。

和系数a.b.c有如下关系：

x1+x2=- x1x2=

设计意图通过讨论让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程的根与系数的关系，如果学生利用二次项系数为1的情形给出证明，应当予以肯定。

四、练习：巩固根与系数的关系

例：根据一元二次议程的根与系数有关系求下列方程两个根x1、x2的和与积。

（1）x2-6x-15=0 （2）x2+7x-3=0

（3）5x-1=4x2

师生活动：学生在解决问题时，可能出现先求出一元二次方程的根，再求两根之和，两根之积也可能出现根与系数关系，在（3）是可能没有整理成一般形式，教师要及时引导学生订正。注意学生运用韦达定理时必须把一元二次方程化成一般形式。ax2+bx+c=0（a≠0）

设计意图：加强对一元二次方程根与系数的认识，并进一步熟悉根与系数关系的应用。

练习：不解方程求下列方程面后根和与积

（1）x2-3x=15 （2）3x2+2=1-4x

（3）5x2-1=4x2+x （4）2x2-x-2=3x+1

师生活动：四名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导然后小组交流，并评价。鼓励学生大胆做，不要怕出错，出错后马上纠正。

设计意图：让学生进一步巩固对一元二次方程的根与系数的认识。

五、小结：教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答下列问题

（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？

（2）我们是如何得到根与系数关系的。

设计意图：通过小结与学生梳理本节课所学内容把握本节课的核心是一元二次方程根与系数的关系，并体验教学活动充满着探索性与创造性。

六、目标检测设计

求下列方程两个根的和与积。

1.x2-4x+7=10

2.5x2-2x=x+3

3.2x2=3x

设计意图：考查学生对一元二次方程根与系数关系的掌握情况。

（作者单位：贵州省遵义市务川县丰乐镇牛塘完小）