对二次函数与一元二次方程教学的探讨

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作者简介：张学景，大学本科毕业，一九九五年至今一直从事初中数学教育教学工作，先后有多篇论文分获省市级奖，《多向互动 力促课改》刊载在《庐阳教育》上，《针对教学实情 开展有效讲授》在《科教文汇》上发表。

【摘要】通过对二次函数与一元二次方程教学的分析总结，既有利于教师教学水平的提高，也可以帮助学生更好的掌握函数与方程的关系，领会初中数学学习中各种数学思想方法的内涵。

【关键词】二次函数；一元二次方程；数学思想方法

二次函数是初中阶段最后一次研究函数的内容，方法也和以前一样，先画图，再通过图象去认识一些相关的性质[1]。但是对二次函数与一元二次方程一节的教学，许多教师都感到难以把握，主要原因一是本节教学内容牵扯到的知识点较多，有相当数量的学生对旧的知识点的掌握本身就不是特别牢固，教师对教学的深浅度不太容易把握；原因之二是本节中运用了各种数学思想方法，有函数思想、方程思想、类比思想、分类讨论思想、数形结合思想等，这些都是初中数学中对学生所要培养的重要思想。可以说本节内容是初中代数各种知识与思想的集体展现，是初中代数内容的一个总结。

在沪科版教材的安排中，采取先通过对一次函数与一元一次方程关系的简单回顾，再通过观察二次函数的图象与x轴有几个交点，交点的横坐标与一元二次方程的根有何关系，进而总结得出一元二次方程，当时该方程的实数根与对应的二次函数的关系。内容安排看似简单，实际却内涵丰富，需要教师大力挖掘，方能使学生充分掌握知识，并从中深切体会到其中数学思想与方法的运用。怎样才能使学生更好的学好知识领会思想呢？笔者从以下几个方面对本节教学进行了探讨，不当之处敬请同行指教。

1理解概念，抓住实质

使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程根，使一元二次不等式成立的未知数的所有的值是一元二次不等式的解集；利用根的判别式可判断出一元二次方程根的情况，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根， 当时，方程没有实数根；抛物线与x轴有三种位置关系，即整个抛物线与x轴没有交点，与x轴有一个交点，与x轴有两个交点；抛物线位于x轴上方对应的函数值大于0，抛物线位于x轴下方对应的函数值小于0，抛物线与x轴相交意味着函数值等于0。教学中对这些知识点需要做适当的复习，只有这些基本知识学生理解透了，才容易把握二者的关系。

2抓住一次函数与一元一次方程关系，充分利用类比攻破难点

类比一次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解，那么抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，由于抛物线与x轴可能会有两个交点、一个交点或没有交点，那么对应一元二次方程相应的就有两个不相等的实数根、两个相等的实数根或者没有解；类比一次函数位于x轴上方则对应的一元一次不等式大于0，自变量的取值范围就是对应的一元一次不等式的解集，那么抛物线位于x轴上方对应的一元二次不等式大于0，自变量的取值范围就是对应的一元二次不等式的解集，其余类推。类比用一次函数图象求解一元一次方程的近似解理解用二次函数图象求解一元二次方程的近似解，等等。

3掌握函数学习中常用的思想方法，并及时归纳总结

教师通过对函数学习中常用的思想方法的总结回顾，培养学生有意识的自觉地运用，能使教学收到事半功倍的效果。在函数学习中经常会运用到如下思想方法：

3.1分类讨论思想：

如对一次函数中k与b的讨论判断直线所经过的象限，二次函数中对a的正负性的讨论，判断抛物线的开口方向及与对称轴结合判断函数增减性等，可以说分类讨论思想贯穿在整个的函数学习中。在教学中可以a>0为例，以表格形式展示：

让学生在独立思考后讨论的基础上完成上述表格并思考：当二次函数y=ax2+bx+c（a

3.2数形结合方法：

利用图形的形象直观解题是一种方法，也是函数学习中的一大特色。对图形的阅读理解是学生必须具备的一项技能，在教学中教师通过对学生画函数示意图的训练，使学生形成自觉运用图形解题的习惯，这对本节知识的教学将大有裨益。在教学中，我采用如下方式：

先给出几个典型实例如：

再让学生分别观察每个图象与x轴各有几个交点，通过解方程验证一元二次方程x2-2x-3=0、x2-2x+1=0、x2-2x+3=0是否有实数根，若有，有几个根；通过学生对函数图象的观察和对方程的求解得出一元二次方程与对应的二次函数之间有何关系。

3.3类比思想：

类比思想不仅在函数教学中会使用到，在其他知识的教学中也会经常运用到。教师要培养并启发学生善于对所学的新知识从旧知识中寻找类比点，以利于学生更好的理解新知。本节知识的教学实际上正是充分利用与一次函数的类比才得以实现难点突破的。

其他如函数思想、方程思想及二者的相互转化思想等也都需要教师在平常的教学中带领学生及时总结，领会其实质。

总之，教学中教师通过对函数学习方法的回顾，使分类讨论等数学思想方法逐步渗入学生思想中，帮助学生在本节知识学习中自觉的运用这些思想方法。

4体现以学生为主体，给学生充分思考的空间

新的课程标准指出：学生应学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果[2]。由于本节知识内容丰富、方法多样，对学生的对知识综合理解运用能力的要求较高，所以在教学中要给学生足够的时间和空间思考交流，通过对自己观点的阐述和对同学观点的聆听、辨析，让知识内化，最终纳入相应的知识体系中。这一过程教师决不能操之过急，应适当的放慢教学节奏。

综上所述，虽然对二次函数与一元二次方程的内容学生不太容易掌握，但我相信通过教师采取积极地教学策略，及时归纳总结，定会取得的满意的教学效果。

参考文献

[1]数学教师用书九年级（上册）.上海科学技术出版社，2009、8

[2]数学课程标准.北京师范大学出版社，2005、4