由三角形内接正方形面积问题引发的思考

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在初中数学相似图形的学习中，经常会出现求三角形内接正方形边长问题，通常的方法是利用相似三角形相似比等于对应高的比来解决，但由于三角形的不同，所以采用内接方式也不同，得到的边长也不尽相同，所对应的正方形面积也不一样，比如：如何才能使内接正方形面积最大？一般的方法是分情况逐一计算、比较，但这里有无规律可循，结合我多年的教学积累，本文就此作一个粗浅的探讨.

一、特殊三角形直角三角形内接正方形边长问题

情形1：（如图1）当正方形一边落在直角边上，设正方形边长DE为x，则借助三角形相似有：=，AD=x，CD=b-x，b-x=x，x=或=，BF=x，CF=a-x，a-x=x，x=.

由此得出结论1：直角三角形内接正方形无论正方形一边落在哪条直角边上，边长均相等.

情形2：（如图2）当正方形一边落在斜边上，设正方形边长MN为y，斜边AB边上的高CD为h，则=.hy=ch-cy，又h=，y=，故x-y=-=-= abc（-），而c（a+b）-（ab+c2）=ac+bc-ab-c2 =（a-c）（c-b）.

由直角三角形斜边c最长，（a-c）・（c-b）y第一种内接正方形面积大于第二种内接正方形面积.

由此得出结论2：直角三角形内接正方形中，当正方形的一边落在直角边上时，正方形面积最大.

二、锐角三角形内接正方形边长问题

由于此种情形内接方式有三种，为了便于说明，不妨设三边关系为：a>b>c.

（如图3）设此内接正方形的边长DE=x，BC边上的高AH=h1由相似得：

=，（a+h1）x=ah1，

x=.

设ah1=2s，x=.

同理：（如图4） y=，

（如图5） z=.

故x-y=-=（-）2s=（-）.再a+-（b+）=（a-b）+（-）2s=（a-b）+・2s=（a-b）（1-）=（a-b）（）.

由正弦面积公式得：S=absinC.

a+-（b+）=（a-b）（）=（a-b）（1-sinC）.由a>b，sinC0，xy

同理：y

由此得出结论3：锐角三角形内接正方形中，当正方形一边落在锐角三角形最短边时，此时内接正方形面积最大.

三、钝角三角形内接正方形边长问题

钝角三角形内接正方形只有正方形一边落在斜边上一种情况，边长的求法可仿照锐角三角形内接正方形边长的方法，这里不再累述.

综上所述，涉及三角形内接正方形面积何时最大问题，需分类考虑的是直角三角形和锐角三角形，其共同规律是当正方形一边落在这两种三角形最短边时，此时内接正方形面积最大.至此三角形内接正方形面积最大问题得到完全解决.

四、应用举例

1.如下图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（ ）.

A. S1>S2

B. S1=S2

C. S1

D. S1、S2的大小关系不确定

分析：此题不难看出是同一个直角三角形内接正方形两种不同情况，根据结论2不难选出正确答案C.

2. 现有一块锐角三角形余料，经测量三边长分别为12cm，15cm，17cm，现将它裁剪成一个最大的正方形材料备用，则这个正方形材料的边长是____________cm.

分析：这道题通常得分三种情况讨论，但根据上面的结论3，只需求出正方形一边放在较短边的那种情况即可，过程请读者自行完成.

3.如下图，等腰直角ABC腰长为a，现分别按图1，图2方式在ABC内内接一个正方形ADFE和正方形PMNQ.设ABC的面积为S，正方形ADFE的面积为S1，正方形PMNQ的面积为S2.试比较S1+S2与S的大小.

分析：此题是湖南西州的一道中考题，不难看出它脱胎出于直角三角形内接正方形的两种情况，借助结论1：x+求出图1的边长，y+求出图2的边长，从而求出S1、S2的大小，从而轻松得出S1+S2与S的大小关系：S1+S2

反观三角形内接正方形面积最大问题的解决，引发我深深的思考：解题只是学好数学的必要条件.但如何解好题 ，更重要的是通过探究、挖掘问题本身所蕴含内在规律，它能使学生从浩然无际的题海中解放出来，能透过现象看到本质，学会了解题方法和技巧，也使教师在教学中摆脱了仅仅是就题论题这种状况，从而达到了授之以“渔”而不是比授之以“鱼”的效果.