对模糊数互补判断矩阵乘性一致性的重新认识

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摘要：为了解决模糊数间的加和减、乘和除已不再是逆运算的问题，并使得运算法则更加符合客观实际情况，而引入了经典数学中的自变量、因变量、代表系统及自由度等概念，进而对模糊数互补判断矩阵的乘。陀一致性进行了研究，结果发现若一个模糊数互补判断矩阵满足目前一些文献对其乘性一致性的定义则这个矩阵一定是精确数互补判断矩阵这一不合理之处。文章最后结合模糊集截集理论，利用模糊数互补判断矩阵元素间的关系，重新对乘性一致性模糊数互补判断矩阵进行了定义。

关键词：管理科学与工程；代表系统；模糊集理论；模糊数互补判断矩阵；自变模糊数；因变模糊数

中图分类号：C934

文章标识码：A

文章编号：1007-3221（2015）03-0001-05

引言

通过研究方案间两两比较建立的判断矩阵，人们可以对方案进行决策选择。然而由于决策者自身主观认识的局限性以及客观事物的复杂性和不确定性，带有模糊信息的模糊互补判断矩阵越来越受到决策者的重视。根据指标值的不同，模糊互补判断矩阵可分为指标值是精确数的模糊互补判断矩阵（简称精确数互补判断矩阵）和指标值是模糊数的模糊互补判断矩阵（简称模糊数互补判断矩阵）一根据构造方式的不同，模糊互补判断矩阵又可分为基于加性一致性的模糊互补判断矩阵和基于乘性一致性的模糊互补判断矩阵。毫无疑问，无论根据怎样的构造方式建立模糊互补判断矩阵，对其一致性的研究都将是一个很重要的内容。

目前，精确数互补判断矩阵和基于加性一致性的模糊数互补判断矩阵的一致性研究已经取得了丰硕成果。然而，由于模糊数乘法的特殊性，关于模糊数互补判断的乘性一致性的研究，虽然取得一些成果，但进展相对缓慢。文献首次给出了三角模糊数互补判断矩阵的概念，并提出一种基于可能度的三角模糊数互补判断矩阵的排序方法，这可看作是模糊数互补判断矩阵研究的萌芽；文献研究了区间数互反判断矩阵和区间数互补判断矩阵之间的转换关系，并给出了乘性一致性区间数互补判断矩阵的定义，然而，文献指出，满足文中定义的乘性一致性区间数互补判断矩阵并不存在；文献研究了决策信息以三角模糊数互补判断矩阵形式给出的多属性决策问题，并仿照乘性一致性精确数互补判断矩阵的概念，定义了乘性一致性三角模糊数互补判断矩阵，然而下文将要证明，文献所定义的乘性一致性三角模糊数互补判断矩阵也不存在。

本文首先为了解决模糊数间的加和减、乘和除已不再是一对逆运算的问题，并使得运算法则更加符合客观实际情况，而把经典数学理论中的自变量、因变量、代表系统和自由度的概念引入到了模糊集理论中，进而对文献的定义的乘性一致性三角模糊数互补判断矩阵进行了研究，结果发现若一个三角模糊数互补判断矩阵满足定义的乘性一致性则这个矩阵一定是精确数互补判断矩阵这一不合理之处。紧接着，通过引入导出精确数互补判断矩阵和共轭精确数互补判断矩阵的概念，对乘性一致性区间数互补判断矩阵和乘性一致性模糊数进行了重新定义

1 预备知识

本文所提到的模糊数均为正模糊数。对于（正）区间数和，有以下基本运算：

定义1 若p为模糊数，为p的隶属函数，而，称p（a）为模糊数p的a截集。

定理1 a和b为模糊数，其隶属函数分别为和可表示+、一、×和÷等，若c=a*b，则

根据模糊数a、b和运算法则*，可以利用定理l来求得模糊数c。以区间数为例，当a=[3，5]，b=[4，6]，*为+时，，由上式可知，若存在x∈[3，5]和，y∈[4，6]满足z=x+y，则必有LL，（z）=1，因为x+y∈[7，11]，因此当ze[7，11]时，μ（z）=l，即c=n+b=[7，11]。而当c=[7，11]，a=[3，5]，*为一时，同样由上述分析可知c-a=[2，8]≠b：单从模糊数间的运算来看，模糊数间的+和一运算已经不再是一对逆运算，同样×和÷也不再是一对逆运算。分析其原因不难发现，若c=a+5，其中x∈a，y∈6，令z=x+y，则。的值域即为；。需要注意的是，在方程z=x+y中，x和y可以在各自隶属的区间内任意取值，而z的取值只能随着x和y的确定而确定，因此这里可以将x和y称之为自变量，z为因变量，相对应地a和b为自变区间数，c为因变区间数。同样地，若b=c-a，其中z∈c，X∈a，令y=z-x，则y的值域即为b，这时z、x和c、a分别成了自变量和自变区间数、，y和b成了因变量和因变区间数。由于a、b、c和x、y、z自身变化性质的不同，其运算结果也随之发生了变化。

通常若c=a*b，一般认为a和b为自变模糊数，c为因变模糊数。如假设有一房间，室内的温度由两台空调调节，现在知道一台空调可调高3―5摄氏度，另一台可调高4～6摄氏度，则房间内的温度可被调高7～11摄氏度。让区间数a=[3，5]和b=[4，6]分别表示两台空调可调高度数，c表示房间温度调高的度数，则c=a+b=[7，11]。从另一角度考虑，现在知道房间的温度可被调高7～11摄氏度，又知道其中一台空调可调高3―5摄氏度，那么另一台可调高多少摄氏度呢？显然也是4～6摄氏度，即c=[7，11]，a=[3，5]，b=c-a=[4，6]，这时公式（1）已不成立，而模糊数的+和一却成了一对逆运算。深入分析可知，是两台空调调控温度的变化而导致室温发生了变化，也就是说两台空调调控温度是原因，室温变化为结果，因此无论求房间的温度还是其中一台空调调控的温度，总有a和b为自变模糊数，c为因变模糊数。

由上面的分析可知，求解等式c=a*b，实际上是对z=x*y进行分析，其中x∈a，y∈b，z∈c。这里不妨设满足x∈a，y∈b，z∈c，z=X*y的一组（x，y，z）叫做（a，b，c）的一个代表系统，定义一簇模糊数的“代表系统”如下：

定义2 令A=（a1，a2，…，an，b1，b2，…，bm），其中ai（i=1，2，…，n）和bj（j=1，2，…，m）为区间数，且

f（a1，a2，…，n）= f2（b1，b2，…，bm）如果如果xi∈ai（i=1，2，…，n），yj∈bj（j=1，2，…，m），且f1（y1，y2，…，ym）=f2 （y1，y2，…，ym），则称（x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym）叫做A的一个代表系统。

通常，在含有n个变量的m个线性无关的方程中，变量的自由度为n-m，因此等式c=a*b的自由度为2，由上面的分析可得出如下结论：

定理2 a、b、c为区间数，且c=a*b，若（x，y，z）为（a，b，c）的代表系统，则

①若a、b为自变区间数，c为因变区间数，则任意X∈a，y∈b，总有Z∈C，且对任意z∈c，总存在x∈a，y∈b满足z=x*y；

②若a、c为自变区间数，5为因变区间数，则任意XEa，ZEC，总有y∈b，且对任意y∈b，总存在X∩∈a，Z∈C满足z=x*y；

③若b、c为自变区间数，a为因变区间数，则任意y∈b，Z∈C，总有x∈a，且对任意XEa，总存在y∈b，Z∈C满足z=x*y，

定义3 矩阵P=（pij）nxn，其中pij为精确数，若Pij+Pji=1，则称p=（pij）nxn为精确数互补判断矩阵。

定义4 矩阵则称矩阵p为区间数互补判断矩阵。

对模糊数互补判断矩阵研究最多的是I型模糊数（区间数、三角模糊数和梯形模糊数）互补判断矩阵，而无论何种模糊数互补判断矩阵，都可以如下定义：

定义5

矩阵，其中对于为模糊数，若其任意a解集为区间数互补判断矩阵，则矩阵为模糊数互补判断矩阵。2模糊数互补判断矩阵的乘性一致性

关于精确数互补判断矩阵，Tanino T曾给出如下乘性一致性定义：

定义6 精确数互补判断矩阵，若，则称p为乘性一致性精确数互补判断矩阵。

由矩阵中元素间的互补性可知

徐泽水曾仿照Tanino T的定义，给出了乘性一致性三角模糊数互补判断短阵的定义：

定义7 为三角模糊数互补判断矩阵，若

则称P是乘性一致性三角模糊数互补判断矩阵。

然而，由于模糊数间的运算规则不同于精确数，因此直接从定义6而引出的定义7具有一定的不合理之处。设a∈[o，1]，则三角模糊数互补判断矩阵的a截集为区间数互补判断矩阵，其中。若公式（3）成立，则

设的一个代表系统，由元素间的互补性及定义2可知，

从而

显然，在公式（6）中，和xkj的自由度为2。现在假设xkj和xij为自变量，xij为因变量（其它情况类似），由前可知，xij、xik和Xkj一定满足下面两个条件：

（1）任意xik∈pik（a）和xkj∈pkj（a），若公式（6）成立，则xij∈pij（a）。

（2）对任意xij∈pij（a），总存在xik∈pik（a）和xkj∈pkj（a），使公式（6）成立。

现在证明：若p（a）=（pij（a））…的代表系统x=（ij）nxn满足上述的（1）和（2），则对，必有

首先证明当时否则会出现以下四种情况：

显然，①与条件（2）相矛盾。对于②、③和④，若取则必有，这与条件（1）相矛盾，因此命题得证。以此类推可知：从而这说明，若三角模糊数互补判断矩阵中的元素满足公式（3），则P一定是精确数互补判断矩阵。换句话说，满足定义2的乘性一致性三角模糊数互补判断矩阵并不存在。

由于任意I型模糊数的a-截集均为区间数，因此这里可以先定义乘性一致性区间数互补判断矩阵，进而利用模糊集截集理论对乘性一致性模糊数互补判断矩阵进行定义。区间数可看作某一区间的精确数的集合，而精确数互补判断矩阵的乘性一致性研究已经相当成熟，为了充分利用其研究成果，可先定义乘性一致性区间数互补判断矩阵。

以定义4为例，由于考虑到了精确数间的运算法则已不同于模糊数，因此在定义区间数互补判断矩阵时并没有对定义3中精确数互补判断矩阵的定义加以直接引用，而是利用表示判断矩阵中区间数的端点数值间的关系重新进行了定义。在定义4中，对于有和，因此和或者和可看作是精确数互补判断矩阵中的一对互补元素，由于为原区间数互补判断矩阵中表示区间数元素的端点，因此可将由满足或者组成的矩阵称之为原区间数互补判断矩阵的导出精确数互补判断矩阵。

定义8 为区间数互补判断矩阵，其，则称判断矩阵为矩阵的导出精确数互补判断矩阵，称的一对共轭精确数互补判断矩阵，其中对于，有且

显然，在一个nXn的区间数互补判断矩阵中，共有2k个导出精确数互补判断矩阵和2k-l对共轭精确数互补判断矩阵，其中k= n（n-1）/2为原区间数互补判断矩阵的自由度。有了以上导出精确数互补判断矩阵和共轭精确数互补判断矩阵的定义，可以对区间数互补判断矩阵进行如下定义：

定义9对于区间数互补判断矩阵，其中为区间数，若存在P的一对共轭判断矩阵均为乘性一致性精确数互补判断矩阵，则称P为乘性一致性区间数互补判断矩阵。

例1 有一区间数互补判断矩阵则P1和P2为原区间数互补判断矩阵P的一对共轭精确数互补判断矩阵，且容易证明，Pl和P2均为乘性一致性精确数互补判断矩阵，因此P为乘性一致性区间数互补判断矩阵。

定义10 为模糊数互补判断矩阵，若为乘性一致性区间数互补判断矩阵，则称P为乘性一致性模糊数互补判断矩阵。

3 结束语

根据模糊理论中的运算法则，模糊数间的加和减、乘和除运算已经不再试逆运算，本文通过深入剖析造成这一结果的原因，为使模糊数间的运算法则更能符合客观的实际情况，引入了经典数学中的自变量、因变量、代表系统和自由度等概念，进而对文献中乘性一致性三角模糊数互补判断矩阵定义进行了分析，得出满足文献定义的乘性一致性三角模糊数互补判断矩阵并不存在。为了合理定义乘性一致性模糊数互补判断矩阵，文章对区间数互补判断矩阵的定义进行了研究，通过引入导出精确数互补判断矩阵和共轭精确数互补判断矩阵的概念，对乘性一致性区间数互补判断矩阵和乘性一致性模糊数互补判断矩阵给出了一个合理的定义。