路程最短问题

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路程最短问题在教学中是个难点，学生在解决此类问题时常不知如何分析，如能将这一类问题其归纳起来教学，便于学生掌握，有利于学生综合复习，笔者现将其在以下几个方面的应用总结如下：

1．水管最短问题. 如图（1）在河边修一个水泵站，分别向张村、李庄供水，问修在河边什么地方可使所用的水管最短？说一说你的理由.

这个题的解法并不难，如图2作A点关于河L的对称点A'，连A'B交河岸L于C，则点C为水泵站.

因为在河边另外任一点C'建站，

所走的路程就是AC'+C'B，但是 AC'+C'B=A'C'+C'B＞A'B=A'C+CB=AC+CB.可见，在C点以外任何一点建站，所走的路程都要远一些.

2.将军饮马问题.如图2，将军每天从军营A点出发先到河边C处饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短，这就是广泛流传的“将军饮马问题”.解法同上.

3．正方形中线段最短问题.如图 3，正方形ABCD的边长为6，M在CD的延长线上，且DM=2，N为AC上一动点，则DN+MN的最小值是多少？

解决这题的关键是如何确定动点N的位置，才能使DN+MN的值最小，如果引导学生联想，将D、M抽象成张村、李庄，AC为河边，由正方形对称性得D关于AC的对称点为B，另一点M与B点的连线与AC的交点即为N点. MN+DN=MB，由勾股定理很容易得出MB=10，即DN+MN的最小值为10.

4．菱形中线段最短问题.如图4，已知菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=60°.E是AB的中点，P是对角线AC上一个动点，则PE+PB的 最小值是多少？

同样也是要找出点P的位置，将B、E抽象成张村和李庄，AC是河边，根据菱形的对称性，B关于AC的对称点为D，则连接ED交AC的点即为P点，PB+PE=ED，在RtABC中，由勾股定理很容易得出 .

因此在教学中引导学生发现问题的实质即当两个点在一条直线同侧时，在该直线上找一点，使得该点到两点距离最短问题时，只要结合不同变化的图形，找出其中一点关于该直线的对称点，再将另一点与该对称点连接交该直线上的一点即为所要寻找的使线段最短的点，再结合相应的数学知识求出线段最短问题.

（作者单位：七台河市逸夫中学）

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