优化解题意识,改善思维品质
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【摘要】美国著名数学家波利亚说过：“掌握数学意味着什么？那就是善于解题.” 学生的解题意识优化和解题品质的培养非一朝一日之事，这就要求一线教师在平时解题教学活动中不能急功近利，要有长远眼光，真正让学生通过高中的数学学习，能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养，满足他们个人发展与社会进步的需要，这才是新课程标准的要求.
案例 已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=2lg（2x+t）.如果x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求参数t的取值范围？
学生解法：lg（x+1）≤2lg（2x+t）对x∈[0，1]恒成立，
x+1≤（2x+t）2 对 x∈[0，1]恒成立.
即4x2+（4t-1）x+（t2-1）≥0对x∈[0，1]恒成立.
记h（x）=4x2+（4t-1）x+（t2-1），x∈[0，1].
①当1-4t8≥1即t≤-74时，
h（x）min=h（1）=t2+4t+2≥0.
t≤-2-2或t≥-2+2.
又t≤-74，t≤-2-2.
②当0
h（x）min=h1-4t8=16（t2-1）-（4t-1）216≥0.
t≥178.又-74
t∈.
③当1-4t8≤0即t≥14时，
h（x）min=h（0）=t2-1≥0，
t≤-1或t≥1.
又t≥14，t≥1.
综上：t≤-2-2或t≥1.
这种解法错误的原因：
①条件的不等价转换
lg（x+1）≤2lg（2x+t）对x∈[0，1]恒成立与x+1≤（2x+t）2 对 x∈[0，1]恒成立不等价.
事实上lg（x+1）≤2lg（2x+t）对x∈[0，1]恒成立.
x+1>0，2x+t>0，x+1≤（2x+t）2对x∈[0，1]恒成立，
即2x+t>0，x+1≥（2x+t）2对x∈[0，1]恒成立.
由2x+t>0对x∈[0，1]恒成立可得t≥0，再结合t≤-2-2或t≥1可得t≥1.
② 设计的解题思路繁琐，分类讨论多，运算量太大，很容易出错.
事实上：由x∈[0，1]可知，lg（x+1）≤2lg（2x+t）lgx+1≤lg（2x+t）
2x+t>0x+1≤2x+tx+1≤2x+t对x∈[0，1]恒成立.
t≥x+1-2x对x∈[0，1]恒成立.
令u=x+1，x∈[0，1]，u∈1，2，x=u2-1.
y=-2u2+u+2，u∈1，2.
ymax=1.
t≥1.
两种思路的差别是对于系数2的处理，学生的解法把2放到真数2x+t上，问题变成了一元二次不等式的恒成立问题，而且不可以分离参数，必须分类讨论；第二种解法把2放到真数x+1上，参数t可以分离出来，回避了分类讨论，运算量小，正确率高.
美国著名数学家波利亚说过：“掌握数学意味着什么？那就是善于解题.”可见解题是数学的核心.目前高中学生数学解题能力的现状是：侧重于现成的知识、结论、技巧、方法的训练，侧重于题海战术，机械模仿，忽视了学生解题意识和数学思维品质的培养.因此常常会出现这样的现象：一道题讲了多遍，学生一听就懂，一看就会，可一做就错.那么怎样优化学生的解题意识，培养学生良好的思维品质呢？
（1）注重基础知识的讲解，帮助学生形成完整的，正确的知识网络.
高中数学内容多，题型多，任务重，高考压力大，老师在课堂上把大部分时间花在解题模仿训练上，而对基础知识的讲解往往一带而过，学生对这些知识点一知半解，在解题的时候，出现了乱套乱用现象.比如函数的单调区间为什么绝大部分情况下不可以用“∪”，很多同学只强迫性的记住了老师的结论，一直到高三毕业都搞不清楚所以然.再比如函数的零点存在定理，很多同学一直把它的逆命题当真命题用，最常见的错误如：
已知f（x）=x2-2x-3-a在-1，2上存在零点，求a的取值范围.
学生：f（-1）f（2）
（2）让学生突破数学直觉思维定式的障碍，引导学生对条件的多元化处理培养学生的发散思维.
俗话说，一句话可以把人说笑了，也可以把人说哭了.这是说话的技巧.解题也是如此.同样的条件在不同的背景下，可以从不同的角度来理解，产生不同的效应.文章开头的案例对2的处理就是一个很好的例子.再比如对三角函数图像的对称轴的处理，方法也很灵活.
例如：命题“f（x）=4sin2x+π3的图像关于直线x=-π6对称”是真命题还是假命题？
方法一：令2x+π3=kπ+π2，k∈Z可得x=kπ2+π12，k∈Z，令kπ2+π12=π6得k=16Z，f（x）的图像不关于x=-π6对称.
方法二：利用对称轴的特征：函数在对称轴处取得最值.
f-π6=4sin2×-π6+π3=0，x=-π6不是函数图像的对称轴.
变式：函数f（x）=asinx+cosx的图像关于直线x=π6对称，求a的值.
本题用方法一和方法二都比较繁琐，学生解题正确率不高.如果把图像的轴对称转移到图像上点的对称，问题就变得方便得多了.
f（x）的图像关于直线x=-π6对称，
f（0）=fπ3.
asin0+cos0=asinπ3+cosπ3.
a=33.
如果老师在平时的教学过程中不追求数量，通过一道题目或一组题目把条件的多元化处理讲透讲精，就能改善学生的思维，真正做到举一反三.
（3）培养学生养成解题后反思的习惯
解题反思是学生在完成解题活动后，对自身的认知活动过程以及活动过程中所涉及的有关事物的学习特征的分析、评价和自我调节的过程.它是解题活动的重要环节.学习数学，固然要多做题，但是只做不思考是解题之大忌.在平时的解题教学活动中，教师可引导学生反思题目中的知识、技能，条件的多元化处理，反思解题的思维过程，反思解题途径、解题规律，渗透数学思维方法，这对于优化学生的解题意识，改善学生的思维品质是大有益处的.
（4）撰写小专题、小论文
俗话说：好记性不如烂笔头.把平时解题的心得、经验、教训及时的记录下来，把条件的常见的一些用途，典型题型的解题规律、解题步骤写成小专题，特殊背景下条件的特殊处理进行归类整理等等都可以帮助学生扩大解题视野，改善思维品质，提升学生的解题能力.
学生的解题意识优化和解题品质的培养非一朝一日之事，这就要求一线教师在平时解题教学活动中不能急功近利，要有长远眼光，真正让学生通过高中的数学学习，能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养，满足他们个人发展与社会进步的需要，这才是新课程标准的要求.