谈谈与周期有关的问题

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仔细阅读2010年各地的中考试题，发现一些省市的试题中都涉及到与周期有关的问题，这种题型以往很少见到.所谓周期是事物在运动变化的发展过程中，某些特征或某些过程却重复出现，循环往复，周而复始，每次一个完整的过程就是一个周期.这种重复的现象在日常生活中经常碰到.例如一个星期是7天，7天那就是一个星期的周期，又如12个月是一年的周期.再如3（n是大于或等于1的整数）的个位数字不断重复出现：

3=3，3=9，3=27，3=81，3=243，……

末位数字以3，9，7，1重复出现，其周期为4.

简单的周期问题一般用余数来解决，可以作为有余除法的一个具体应用.初中阶段，周期在广阔的背景下，可以与图形的翻折、平移、旋转结合起来，与平面直角坐标系、动点的运动等结合起来，构成比较综合的题目，以考查学生的解题能力.

如何解答与周期有关的问题？首先要根据题中的条件，通过计算、推理、实践等手段，掌握一个完整周期的构成. 在这个周期中，根据各个元素的排列情况，进而确定周期是几，然后由要确定的目标，通过除法计算得出余数，在一个周期中找出与余数对应位置的元素，即为所要求的结论.如果余数为0，则周期中的最后一个元素就是所要求的结论.

例如上面例子中的3的末尾数字是以4为周期，排列顺序是3,9,7,1.要确定3的末位数字，将2011÷4，得502余3，而第3个位置对应的数是7， 3的末位数字是7.

我们再举数例如下：

例1如图（1），圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字.电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈. 现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是?摇 ?摇?摇.（常州市2010年中考试题）

解跳蚤从标有“0”的圆圈开始，按逆时针方向依次跳到标有数字11,10,9，…，1的圆圈，跳到12次又跳回标有“0”的圆圈.因此跳蚤是以12为周期不停地跳动.而2010÷12=167…6，在11,10,9，…1，0中第6个数是6，跳2010次后跳蚤落在标有“6”的圆圈中.

例2将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2 和5、3和4）放置于水平桌面上，如图2．在图3中，将骰子向右翻滚 90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90°，则完成 一次变换．若骰子的初始位置为图2所示的状态，那么按上述规则连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是（）

A． 6 B． 5 C． 3 D． 2

解我们从试验入手，以便从中发现规律.

由此可知，骰子完成第三次变换后，又回到初始位置.因此骰子是以3为周期进行变换.而10÷3=3…1，完成10次变换后，骰子朝上一面的点数与完成1次变换后的点数相同即为5.

例3电子跳蚤游戏盘是如图4所示的ABC，AB＝6，AC＝7，BC＝8．如果跳蚤开始时在BC边的P处，BP＝2．跳蚤第一步从P跳到AC边的P（第1次落点）处，且CP＝CP；第二步从P跳到AB边的P（第2次落点）处，且AP＝AP；第三步从P跳到BC边的P（第3次落点）处，且BP＝BP；……；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为P（n为正整数），则点P与P之间的距离为（）

A． 1 B． 2

C． 3 D． 4

解我们也从试验入手，以便从中发现规律.

由此可知跳蚤第六步又回到起始位置，因此跳蚤是以6为周期进行跳跃.

2007÷6=334…3，2010÷6=335，

第2007步的落点与P相同，第2010步的落点与P相同， P与P之间的距离为3.

例4如图5，OMM为等腰直角三角形（O为坐标原点，M在x轴的正方向，M在第一象限），以斜边OM为直角边，逆时针方向作等腰直角三角形OMM，以斜边OM为直角边，逆时针方向作等腰直角三角形OMM，如此作下去，若OM=1，OMM为第n个等腰直角三角形，求点M所在的位置，并求出它的坐标.

解按题中的要求，如图5继续作出等腰直角三角形：OMM，OMM，OMM，OMM，OMM，则M又回到x轴的正方向上.M、M、M、M、M、M、M、M所在的位置分别为：第一象限角平分线上，y 轴的正方向上，第二象限角平分线上，x轴的负方向上，第三象限角平分线上，y轴的负方向上，第四象限角平分线上，x轴的正方向上.点M所在的位置，以8为周期，按以上8个位置的顺序重复出现，而37÷8=4…5，点M在第三象限的角平分线上.

OM=1，而等腰直角三角形的斜边长是直角边的倍，所以OM=，OM=()，OM=()…OM=()

OM= M M==()=2.

点M在第三象限，

点M的坐标是（-2，-2）