圆中的双解题

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摘要：圆这一部分知识是初中几何教学中的重难点，是压轴题的重要组成，在教学中，会发现有一部分题目是一题双解甚至多解，所以教师应教会学生总结归类、分析问题的方法，进一步体会数学中分类讨论的数学思想，为后续学习做好准备。

关键词：圆；双解；多解；数学思想

中图分类号：G633.63 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）38-0101-02

在初中圆的教学中，会出现很多的一题双解甚至多解题，教师在教学过程中要善于总结、归纳。通过这段时间的教学，我将出现频率比较高的几类题型作了一个总结，既便于自己教学，也便于学生学习，更利于学生体会数学分类思想，打开思维。

一、按可能出现的不同位置分类

1.已知O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为7或17cm。

简析：本题有弦AB和CD在圆心的同侧或异侧两种情况。

2.在O中，已知O的直径为2，弦AC=■，弦AD=■，则CD2=2+■或2-■。

简析：本题应按 、 在 异侧或同侧分类讨论。

3.相交两圆的半径分别为5和4，公共弦长为6，那么两圆的圆心距为4+■或4-■。

简析：本题应按O1、O2在AB的异侧或同侧分类。

二、按落点可能出现的不同位置分类

1.CD是O的一条弦，作直径AB，使ABCD，垂足为 E，若AB=10，CD=6，则BE的长是1或9。

简析：本题应考虑到CD可能和OB交于点E也可能和OA交于点E两种情况。

2.已知ABC内接于圆中，AB=AC，圆心O到BC的距离为6m，圆的半径为10cm，则腰AB的长为8■或4■cm。

简析：本题应考虑O在线段AD内或不在线段AD内两种情况。

3.在一半径为5的半圆上有两点A和B，点A到直径的距离为4，点B到直径的距离为3，若点P为直径上的一个动点，则PA+PB的最小值为5■或7■。

简析：本题应考虑到点B既可能落在弧AN上也可能落在弧AM上两种情况。

4.A、B是O上任意两点，如果∠AOB=70°，C是O上不与A、B重合的任一点，则∠ACB=35°或145°。

简析：本题应考虑点 可能落在优弧上也可能落在劣弧上两种情况。

三、按可能出现的不同情况分类

1.一个点到圆的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则此圆的半径为2.5或6.5cm。

简析：本题应考虑A点在O内、外两种情况。

2.O1与O2的圆心距为5，O1的半径为3，若两圆相切，则O2的半径为2或8。

3.在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，A的半径为2，若以点C为圆心作一个圆，使C与A相切，那么C的半径为11或15。

4.小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，O），半径为5，如果两圆相切，那么a的值为±8或±2。

简析：这三个题均要考虑到两圆相切要分内切与外切两种情况，而11题不仅要考虑两圆相切要分内切与外切两种情况，还要考虑到大圆的圆心既可能在x轴的正半轴上也可能在x轴的负半轴上。

5.已知两个同心圆的半径为R和r（R>r），则和这两个同心圆都相切的圆的半径为■或■。

简析：本题应考虑这个圆可能和大圆内切小圆外切或与大圆内切小圆外切两种情况。

四、从全面性考虑分类

1.在RtABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C 为圆心，r为半径画一个C，若C与斜边AB只有一个公共点，则C的半径r的取值范围是r=2.4或3

2.已知O1与O2的半径不相等，O1的半径长为3，若O2上的点A满足AO1=3，则O1与O2的位置关系是相交或相切。

简析：这两题均应考虑相切时有且只有一个交点，相交时是交点之一。

五、按可能出现的方向分类

1.O的半径OC=5cm，直线lOC，垂足为H，且l交O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移 2或8时与O相切 cm。

简析：本题可按直线移动方向的可能性分类即直线既可向上也可向下移动。

2.在平面直角坐标系中，A的半径为1，圆心A的坐标为（-2，0），B的半径为2，圆心B的坐标为（3，0），当A沿x轴正方向移动4或6个单位时，A与B相内切。

简析：本题可按切点位置的可能性分类即切点可能在B的左边也可能在B的右边。

通过这种归类教学，逐步培养学生的数学思维，建立分类讨论的意识。教师在讲解时要结合图形，尽量让学生自己画图，在作图的过程中体会分类的原因和分类的必要性，同时明白如果原题没有图形或是题意不明确时，一定要有分多种情况讨论的意识，为后一步的教学打好基础。