经历定义过程 理解概念本质

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在教学“圆的认识”这一课时，很多教师会把圆的概念、半径、直径及其关系作为教学的重点，会选择折一折、比一比、量一量的方式进行数学活动，用告诉、发现的方式让学生认识这些概念；在教学用圆规画圆时会总结详细的画圆步骤，让每位学生掌握画圆的方法；在渗透数学文化时，会非常重视数学知识的人文背景，向学生充分展示圆的文化内涵，但在基本的数学知识与数学能力方面，学生没有达到数学的理性与概括。综观这样的获得知识，除了丰富学生的知识储备、搭建必要的认知台阶外，并没有为学生数学思考力的提升作出贡献。因此，对圆概念的本质理解是不深入的，学生心中呈现的仍然是一个静态的圆。如何让学生心中的圆动态化，笔者认为，教师在教学圆这个概念时不应该只是为了定义而教学，而应该让学生经历定义化过程。于是笔者进行了以下几个教学片段的尝试，收到了较好的效果。

一、从“圆规”到“直尺”――突破画圆工具，理解圆的内涵

学生对圆既熟悉又陌生，一方面学生已经知道了圆的形状特征（半径、直径及关系等），另一方面对圆的图形性质（到定点距离等于定长）又知之甚少。用圆规画圆是为了让学生掌握圆的一些基本知识，通过动手操作让学生发现圆的特征之间的关系，同时也归纳出画圆的方法的两个要点：定点和定长。但是在这个操作活动中思辨活动比较少，也就是说画圆为什么要定点、定长，这个概念学生是模糊的。因此在学生掌握了用圆规画圆后再提出一个思维挑战：用直尺画圆。用直尺画圆，先让学生定点，然后思考定长。怎么定长是考验学生的关键问题，学生必定会思考怎么才能使从定点出发的线段相等。通过实践学生想出了五种方法，让学生在思辨中感悟到圆的本质属性――到定点距离等于定长。因此，用概念的本质去解决画圆的方法才是解决一切问题的法宝。

师：你能用圆规画圆吗？请你试着画一个圆，画圆时想一想要注意什么呢？（生画圆）

师：说一说画圆时要注意什么。

生：圆规两脚分开。

生：圆规两脚之间的高度要一样。

生：画圆的过程中圆规要稍微倾斜30度左右，使画出的圆的线条流畅，画圆过程中带有针的一端不能移动。

生：圆规两脚的距离不能改变。

师：圆规两脚的距离为什么不能动？

生：动了就是一个脚到圆心的距离不相等了。

生：动了半径就不一样了。

……

师：听了刚才同学们说的注意点，我认为有两点很重要：（1）找一个合适的地方，定点；（2）圆规两脚之间要有一定的距离，定长。

师：按照同学们说的，老师也来画一个（边说边画），先定点，再定长。

师：请你把刚才画的圆修正一下，或重画一个。

……

师：刚才我们用了圆规，先定点再定长画了一个圆，你能不能用直尺，利用定点、定长这两个知识点画一个圆呢？你打算怎么画？小组讨论下。

方法一：

生：我们组的办法是先在纸上定一个点，然后从这个点出发画3cm长的线段，画得越多越好，然后把各条线段的另一端点用曲线连起来。

师：画得越多越好是什么意思？

生：因为圆的半径都相等的，其实这些线段就是圆的半径，半径可以画无数条，画得越多曲线就容易连起来。

方法二：

生：我们跟他们不一样。先画一条10cm的线段，取一个中点，再通过中点画20条10cm的线段，并且这个点都是这些线段的中点。然后把这些线段的端点用曲线连接起来。

师：你的定点、定长在哪里？

生：定点其实是这个中点，定长是10cm线段的一半5cm。

师：为什么要画20条这样的线段呢？

生：线段画得越多越好，曲线就容易连接起来，不一定要20条，30条、40条都可以。

方法三：

生：先画一个十字架，每条线段定一个点到中点的距离相等，然后把4个点用曲线连接起来。

师：……

方法四：

生：用一把直尺量取一段长度作为圆的直径，记录下这条线段的中点，把这个中点作为圆的圆心，把直径作为边长作一个正方形，然后作这样无数个正方形，这样正方形的顶点就会构成一个圆的图形，这个我是在一本书上看到的。

方法五：

生：画一个正六边形，然后把多边形的顶点用弧线连起来。

……

师：你们的方法太好了，用直尺也能画圆。那让我们一起来用直尺画圆吧。

二、从“小”到“大”――突破空间的局限，体验圆的特征

如果说用圆规画小圆、等圆是让学生感受画大小不同的圆是跟定长有关，那么让学生在操场上思考怎样画大圆是为了进一步让学生体会，画圆不一定要用圆规，只要有定点与定长就可以，这也是对用直尺画圆的突破。因此，在教学中发现有学生用“十字坐标”法画圆，这种方法其实是对直尺画圆的一种迁移。而学生想到了用钉子与绳子画圆的方法是一种对圆定义的突破。只要将与圆心距离处处相等的点连起来就成圆了，可以进一步体会到圆的特征。因此，这样教学学生对数学知识的获取，不是被动地接受，而是一种自我建构数学知识的过程。

师：刚才我们用圆规、直尺在纸上画圆。老师这里有一个半径为4cm的圆，你能跟我画一个同样大的圆吗？想一想应该怎么画？

生：只要我画的圆半径定在4cm就行了。

生：……

师：请你在纸上画一个与老师的圆一样大的圆。（生画圆）

师：刚才我们都是在纸上画一些小圆，如果要在我们的操场上画一个半径为2.5米的大圆，你有没有好方法？（生思考）

师（启发）：我们的圆规比较小、直尺比较短，篮球场上画大圆还能用它们来画吗？

生：不行。

师：那我们的定点、定长怎么办呢？

生：我们可以用一根2.5米长的绳子，固定一端，然后以另一端绕着这个端点转一周就成了一个大圆。

生：还可以先在操场上画十字坐标，以十字坐标的交叉点为圆心，定好上下和左右的半径，画出一个正方形。然后再连接它们的对角线，采用切割的方法，先把正方形切成正8边形，再切成正16边形，再切成正32边形。然后把各个点连接起来就成圆了。

三、从“方”到“圆”――突破思维限制，感悟圆的本质

“一中同长”是圆和其他平面图形的本质特征得以凸显与内化的重要属性，而“曲线图形”“没有角”等特点是圆的非本质属性。从中心到图形上相等的线段条数的对比教学，一方面深化了学生对多边形特征的认识，另一方面更是在比较辨析中促成了学生对圆的半径有无数条、所有的半径都相等的深层次认同。从正六边形一直到正800边形，更是架起了多边形与圆之间的桥梁，让学生有了直与曲图形辩证统一、有限与无限、量变与质变等的思考。

师：同学们，我们以前认识图形特征就是从边和角两个方面来研究的，圆确实具有大家说的这些特点。知道古人是怎么说圆的特征吗？

师：古人说圆是“一中同长”，明白这句话的意思吗？

生：一个中心点！

师（笑着）：什么是“同长”？

生：半径一样长，直径的长度也一样长。

师（反问）：圆，有这个特征吗？

生（齐声）：是的。

师：在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中“一中不同长”吗？（如下图）

生：如果把线连到三角形的边上，那么它们线段的长度就是不一样的。

师：连在各顶点上的长度是相等的，但连接边上的长度与连接顶点长度就不一样了（出示课件），但是圆呢？

生：都一样。

师：是的，圆上的点到圆心的距离都是相等的，而且正三角形内，中心到顶点有3条线段相等，正方形有4条，正五边形有5条……圆呢？

生：有无数条。

师：为什么是无数条？

生：因为圆上面有无数个点。

师：那谁来说说，半径是一条怎样的线段？

生：一端在圆心，一端是圆上任意的一个点。

师：其实，圆出于方。（课件演示正多边形边数不断增多，最后转变成圆的动态过程）

生（惊奇）：成一个圆了！

师：现在是正800边形！

师：看到这里你有什么想法？

生：圆是正多边形变成的。

生：我认为圆是一个正无数边形。

生：圆可以想象成正无数边形。

师：你们说得太好了。现在请你闭眼想一想，当这个正多边形的边数越来越多的时候，这个正多边形会接近什么图形？

生：圆。

师：用老子的话来说就是“大方无隅”。大方就是指最大最大的方，“无隅”猜一猜，“隅”是什么意思？

生：角。

师：这样一来，圆是不是“一中同长”。

生：是的。

师：是的，圆“一中同长”才是它的本质特征，在我国古代的时候墨子就发现了，比西方早了1000多年……

通过三个环节对圆概念特征的体验，学生以思辨的形式对“圆为什么会圆”这个问题进行了反复理解，使其明白了“圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹”真正的意义。因此，对圆概念的教学应该让学生经历定义的过程。

（浙江省杭州市大关苑第一小学 310014）