勤归纳 善类比 巧联想

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中学数学方法论中的“化归方法”，是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得问题解答的一种手段和方法。我们在解决一个数学问题时，直接对它求解，有时会感到束手无策，若是换个角度，把问题转化为另一个简单的问题或者我们比较熟悉的问题，那么就容易解决了，这就是所谓的化归思想方法。

化归思想贯穿整个中学数学，在学习的过程中要有意识地体会这种科学的思维方法，这有利于我们在解决问题的过程中思维通畅、方法得当，从而提高解题效率。归纳、类比和联想，则在我们运用化归方法解决问题的过程中起着举足轻重的作用。掌握好归纳、类比和联想，学会在解题时依据问题本身所提供的信息，利用动态思维去寻求问题解决的化归途径和方法，对学好数学是很有帮助的。

一、归纳是探索化归思想的手段

归纳法是由个别特殊的事例推出同一类事物的一般性结论的思想方法，其基础是观察与实践。如勾股定理，多面体的欧拉公式，前n个自然数的立方和公式、二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实践和归纳的结果。

例如，我们可能碰巧看到：

1+8+27+64=100

由于我们非常熟悉前几个自然数的平方和立方数值，于是试着将上面的形式改变一下：

1+23+33+43=102=（1+2+3+4）2

1+23=9=32=（1+2）2

1+23+33=36=62=（1+2+3）2

我们会发现这几个形式很规律，于是归纳为：

1+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=n（n+1）22

在中学数学教学中，用归纳的方法揭示规律，得出结论的例子很多。例如，等比数列的通项公式就是这样归纳得到的：

如果等比数列的公比是q，那么，

a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3…

由此可知，等比数列的通项公式是：

an=a1qn-1

二、类比是确定化归方向的钥匙

类比推理是根据两个不同的对象，在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，并做出某种判断的推理方法。它既可以帮助学生梳理与巩固旧知识，又可以十分有效地使学生接受新知识。在解题时，类比推理之于化归，一可帮助我们确定未知目标，二可帮助我们寻找解决问题的途径。

下面通过对梯形面积公式和棱台体积公式的逻辑分析，来说明中学数学中类比推理的特点。

梯形与棱台（四棱台）的类同之处

梯形

上、下底平行

另外两边不平行

两腰延长后交于一点

中位线平行于上、下底

棱台（四棱台）

上、下底面平行

另外四个面不平行

四个侧面伸展后交于一点

中截面平行于上、下底面

从概念生成的角度分析，梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的。若这个三角形面积一定，那么梯形的面积便决定于平行线与底边的距离。而棱台则可以认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的。若棱锥体积不变，则棱台的体积便决定于截面到底面的距离。

三、联想是实现化归作用的途径

联想是由某种概念而引起其他相关概念的思维形式。联想与归纳、类比在意义上的区别是明显的，归纳、类比偏重于对两类对象性质上的相同或相似因素的比较，并据此进行类推。而联想，则虽也是由一个对象想到另一个对象的思维形式，但它并不受两类对象性质相似或不相似的限制。所以更为自由，更为活跃，因而发散性也更强。

例如，当我们审视了数字“1”后，能联想到什么呢？如下之每一个箭头所指，都有可能作为联想线路：

但是，究竟哪一个箭头所指的能产生联想效应呢？常用的选择方法是根据题意鉴别或通过实践取舍，我们还可以再次运用联想去选择。所以联想不仅是多向的和发散的，而且是多层次的。

总之，归纳、类比与联想总是密切联系并交替使用的，要用好类比推理，必须要有丰富的知识与联想的能力，知识与想象力越丰富，可供类比的题材就越多，形成新命题、发现新方法的机会就越多。正是归纳、类比和联想的有机结合，才使我们的化归方法更为完善。