试论几类函数的迭代

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摘要：本文给出了几类函数迭代式的一般式，在求解这些函数迭代具有一定的应用价值。

关键词：迭代；共轭相似法

中图分类号：G633 文献标识码：A文章编号：1005-5312（2011）03-0229-02

一、预备知识

定义1同一个函数f(x)的多次复合，f (f (x))，f (f (f (x)))，…，成为函数f(x)的迭代。记f 1 (x)=f (x)，f n (x)=f (f n-1 (x))，特别地，记f0 (x)=x，n称为f (x)的迭代指数。

定义2共轭相似法：如果存在可逆函数h(x)，使函数f与g满足f =h-1ogoh，就称f与g共轭，或说相似，记为f～g。这里函数h称为桥函数。这种共轭是一种等价关系，即满足：（1）自反性：f~f；（2）对称性；f~g?圯g~f，（3）传递性：f~f，f~g?圯f~g；尤其是f～g?圯f n~g n即从f =h-1 ogon可导出f n =h-1 ognon.

二、主要结果

定理1.1若二次函数f(x)= ax2+ bx+ c（其中a,b,c∈C，a≠0）满足b2-4 ac-2 b-8=0，则f (x)的n次迭代式为：f n (x)=arccos 2n(+)-

证明:令h (x)= ux+ v，h (x)的反函数为h-1 (x)= ，这里u，v是待定系数，取F (x)= h-1 ofoh(x) (1，1)，则得F (x)=aux2+(2av+b)x+，取u=，v=-，得F (x)=2 x2-1，由（1，1）得f n (x)=ho Fnoh-1 (x)（1.2）

下求（1.2）的n迭代式，次取g(x)=2 x,h1 (x)=arccosx,则h1-1 (x)=arccosx,则F (x)= h1-1 ogoh1(x),得Fn (x)= h1-1 ogoh1(x)（1.3）,易知gn (x)=2n x,由（式1.3）

所以Fn (x)=cos2n(arccosx),

由（1.2）fn(x)=cos2n[arccosx(+)]-。

定理1.2若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足b2-2b-4ac=0（其中a，b，c∈R，a≠0），则f(x)的n次迭代式为：f n(x)=-

证明:当n=1时,,

当n=2时，=

假设当n=k时，

当n=k+1时，

=

由此可得,.

定理1.3 设f (x) =(a，b,c,d∈R，c(ad-bc)≠0)，当(a+d)2-4 (ad-bc)=0时，fn (x)=;

证明:首先定义序列{an}和{bn}，满足a0=x,b1=1,

an= bn-1 (afn-1+b),bn= bn-1 (cfn-1+d),

fn (x)= ,an= aan-1+ bbn-1,bn=can-1+dbn-1

得an+1-(a+d) an+(ad-bc) an-1= 0,bn+1-(a+d) bn+(ad-bc) bn-1=0 (n＞1)

其特征方程为x2- (a+d) x+ (ad-bc) = 0 （1,4）

设?琢，?茁为（1,4）两个根，当(a+d)2-4(ad-bc)=0时，?琢=?茁=

则an= [ (ax+b-?琢x) n+ ?琢x ] ?琢n-1,bn= [ (cx+d-?琢) n+?琢] ?琢n-1

得fn==

推论1.3.1 若f(x)=，a，b∈R且b≠0，则f(x)的n次迭代式为：

当a2+4b=0时，fn(x)=

当a2+4b≠0时，

fn(x)=

其中a，b为方程x2-ax-b=0两个根。

参考文献：

[1]张伟年.动力系统基础[M].北京：高等教育学报,2002.

[2]周作领.一维动力系统[J].数学季刊，1988，3（1）：1-23.

[3]熊金城.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社，1998：107-108.