探析 “数列求和”在高考中的应用
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【摘要】数列求和是数列的重要内容，也是高考的重点考察对象。数列求和的内容在课本中没有作为独立的知识点列出，但它在解决数列的有关问题中却有重要意义，有必要进行归纳与总结。本文根据不同题型总结出一些常见题型及解法技巧，以提高同学们数列求和的能力。
【关键词】高考数学 数列求和 题型 解法技巧
数列求和是数列的重要内容，也是高考的重点考察对象。它几乎涵盖了数列中所有的思想、策略、方法、技巧，对学生的知识和思维能力都有很高的训练价值。考试时把求和作为大题的一个不可缺少的一问单列，其重要性不言而喻。因此，我们根据不同题型总结出一些常见题型及解法技巧，以提高同学们数列求和的能力。
1.公式法（常规公式）
（1）直接利用等差数列和等比数列求和均可直接利用求和公式。
a 等差数列{an} 的前n项和Sn=(a1+an)・n2=na1+n(n-1)2d
b 等比数列{an} 的前n项和Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anqn1-q（q≠1）
2.倒序相加法
如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序求和法。这种求和方法在推导等差数列的前n项和也曾用过。
例1： 求sin21°+sin23°+…+sin288°+sin289° 的值。
【解题思路】
本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决。
解：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289° 的值。
解：设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°①
将①右边反序得
S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21° ②
即
S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos288°+cos289° ③
①+③得
2S=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+(sin23°+cos23°)+…+(sin288°+cos288°) +(sin289°+cos289°)=89，
S=4412。
3.错位相减法
错位相减法：
若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{anbn}（差比数列）前n项和，可由Sn-qSn求Sn，其中q为{bn} 的公比。
例2：已知等比数列｛an｝ 的前n 项和为Sn=a・2n+b ，且a1=3
（1）求a 、b 的值及数列{an} 的通项公式；
（2）设bn=nan ，求数列{bn} 的前n 项和Tn。
解：（1）n ≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1 。而{an} 为等比数列，得a1=21-1・a=a ，
又a1=3 ，得a=3 ，从而an=3・2n-1 。又a1=2a+b=3,b=-3 。
（2）bn=nan=n3・nn-1 ，Tn=13(1+22+322+…+n2n-1)…①
12Tn=13(12+222+323+…+n-12n-1+n2n)…②
①-②得 ，12Tn=13(1+12+122+…+12n-1-n2n)，
Tn=23［1・（1-12n）1-12-n2n］=43(1-12n-n2n+1)
练习：求和：Sn=1+2a+3a2+…+nan-1 （a≠1）。
练习：已知数列{an}的前n项和为Sn，对任何正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数 的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为Kn.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=2knan ，求数列{bn}的前n项和Tn
4. 裂项项消法
“裂项项消法”就是把数列的项拆成几项，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的。
例3: 把正偶数列{2n} 中的数按上小下大，左小右大的顺序排序成下图“三角形”所示的数表．设amn 是位于这个三角形数表中从上到下的第m 行，从左到右的第n 列的数．
（1）若记三角形数表中从上往下数第n 行各数之和为bn ，求数列{bn} 的通项公式．
（2）记cn-1=nbn+n(n-1) （n…2 ），数列{cn} 的前 n项和为 Sn．
解：（1）若数列{xn} 的通项公式为xn=2n ，则其前m 项和Tn=n(n+1)
bnn(n+1)2 ［n(n+1)2+1］-(n-1)n2［(n-1)n2+1］=n3+n
（2）cn-1=nn3+n+n(n-1)=nn3+n2=1n(n+1)
cn=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2
Sn=12 -13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2
练习：对于每一个正整数n ，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1 与 x轴交于An,Bn 两点，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2004B2004| 的值为。
练习：已知函数f(x)=2xx+2 ，当x1=1 时，xn=f(xn-1)(n≥2，n∈N*) ，求数列{xn} 的通项公式。
总之，数列求和的内容在课本中没有作为独立的知识点列出，但它在解决数列的有关问题中却有重要意义，有必要进行归纳与总结。数列求和的方法多种多样，在这里我只是列出了几种常用的方法，此外还有一些数列求和方法，比如待定系数法、数学归纳法等等，相应的技巧也应重视，以不变应化变，为高考数列作好充分的准备。