带Peαno有余项的Tαylor公式的推广及应用

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【摘 要】文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式， 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具，本文讨论了应用泰勒公式求高阶导数、判断函数的凸凹性及拐点的问题以及带有pe？琢no余项的T？琢ylor公式有关的导数概念的推广即Pe？琢no导数。

【关键词】泰勒公式；极限；敛散性；凸凹性；拐点

泰勒公式是数学分析中一个重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具。泰勒公式的余项有两种：一种是定性的，例如我们可以使用泰勒公式， 皮亚诺型余项；另一种是定量的，如拉格朗日余项、柯西型余项等。可以用来很好的解决有关函数高阶导数问题。带有余项的公式建立了函数与它的阶导数之间的关系，在理论和实践中有广泛的应用。

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。通过本文的论述，我们可以了解到高阶导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一。只要题中条件给出函数二阶及二阶以上可导，不妨先把函数在指定点展成泰勒公式，一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式，然后根据题设条件恰当选择展开点（展开点未必一定是具体数值点，有时以为佳）。只要在解题训练中注意分析、研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。

作者简介：郭胜红（1979.2-），男，甘肃兰州人，汉族，讲师.主攻方向：数学教育。

参考文献：

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