善揭面纱,方得正果

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隐含条件是指题目中隐而不显、含而未露的固有条件，它通常巧妙地隐藏在题设的背后。学生常因未能挖掘题设中的隐含条件，使求解陷入困境，或是得出错误的结论。我们在解题时若能揭开其表层面纱，深入挖掘所隐含的信息，并予以充分利用，方可得出正确结果。下面笔者结合实例谈谈三角问题中的隐含条件的挖掘。

一、从已知条件入手，挖掘隐含条件

（一）已知条件使用须周全

例1.已知？琢、？茁∈[-■，■]且？琢+？茁

A.（-∞，-2）∪（1，+∞） B.（-2，1）

C.（1，■] D.（0，■]

错解：由条件知？琢、-？茁∈[-■，■]且？琢

剖析：错解虽然利用了条件？琢+？茁

（二）关注三角函数的有界性

例2.已知3sin2？琢+2sin2？茁=2sin？琢，求y=sin2？琢+sin2？茁的最大值、最小值。

错解：由已知得sin2？茁=sin？琢-■sin2？琢，y=sin2？琢+sin2？茁=-■（sin？琢-1）2+■

当sin？琢=1时，ymax=■；当sin？琢=-1时，ymax=-■。

剖析：实际上，已知条件sin2？茁=sin？琢-■sin2？琢中sin？茁的有界性sin2？茁∈[0，1]隐含了sin？琢的范围这一条件。由0≤sin？琢-■sin2？琢≤1？圯sin？琢∈[0，■]，故当sin？琢=■时，ymax=■；当sin？琢=0时，ymin=0。

（三）注意已知式中的约束关系

例3.若？琢、？茁、？酌均为锐角，且sin？琢+sin？酌=sin？茁，cos？茁+cos？酌=cos？琢，则？琢-？茁等于（ ）

A.■ B.-■ C.±■ D.■或■

错解：由条件有sin？琢-sin？茁=-sin？酌，cos？琢-cos？茁=cos？酌，两式平方相加得cos（？琢-？茁）=■，？琢、？茁均为锐角，-■

剖析：错误在于只注意到“α、β都是锐角”，而忽视了“？酌为锐角且式子sinα-sinβ=-sin？酌

二、从解题过程入手，发现隐含条件

（一）关注求解过程，捕捉隐含信息

例4.已知tan？琢、tan？茁是方程x2+3■+4=0的两个实根，且-■

错解：由题意知tan？琢+tan？茁=-3■，tan？琢tan？茁=4，tan（？琢+？茁）=■=■=■，又-■

剖析：在求解过程中未能深入挖掘“tan？琢+tan？茁=-3■0”中隐含的信息。实际上，由上式可知tan？琢

（二）关注化简过程，确保等价变形

例5.判断函数f（x）=■的奇偶性。

错解：f（x）=■=■=tan■，由f（-x）=tan（-■）=-tan■=-f（x）， 函数f（x）为奇函数。

剖析：在变形过程当中，由于函数的定义域发生了变化而致错，由题意得1+cosx+sinx≠0？圯sin（x+■）≠-■？圯x+■≠-■+2kx且x+■≠■+2kx，即x≠-■+2kx且x≠-？仔+2kx，原函数实质等价于f（x）=tan■（其中x≠-■+2kx且x≠-？仔+2kx），通过数轴知f（x）定义域不关于原点对称，函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数。

在涉及三角函数的奇偶性、周期性、单调性时，往往都需要进行必要的化简。此时须关注原始函数的定义域，确保变形等价。

三、从解题结果入手，搜索隐含条件

例6.在锐角ABC中，sin（A+B）=■，sin（A-B）=■。设AB=3，求AB边上的高。

■

错解：如图所示：设AB边上的高CD=h，

在DB上取一点A′使DA=DA′，则A-B=∠BCA′

在A′BC中，■=■=■；

在ABC中，■=■=■，A′B=■·sin（A-B）=1，

由2AD+A′B=3？圯AD=1，BD=2，所以AC=■，BC=■，

由2SABC=AB·h=AC·BC·sin∠ACB得3h=■■·■，解得h=■±2。

剖析：没有使用锐角这一条件，但由于h=■±2>0，故难舍一解，须将h=■-2代入检验，得AC2+BC2-AB2

故在出现多解但从条件又不便排除时，可考虑从结果入手，代入检验，搜索隐含条件。

四、注意三角形背景，应用隐含条件

（一）从三角形中有关结论出发，进行探索

结论1.在ABC中，A>B？圳sinA>sinB。

简证：A>B？圳a>b？圳2RsinA>2RsinB？圳sinA>sinB。

结论2.在ABC中， 角C有解的充要条件是cosA+cosB>0。

证明：角C有解？圳A+B-cosB？圳cosA+cosB>0

例7.在ABC中，已知cosA=■，sinB=■，求cosC的值。

错解：在ABC中，由cosA=■？圯sinA=■；由sinB=■？圯cosB=±■，故cosC=cos[？仔-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=■或■。

剖析：错解中忽视了对“A+B+C=？仔”这一隐含条件的挖掘。利用结论1由cosA=■>0知A为锐角，又sinA=■>sinB？圯B

由sinB=■？圯cosB=■，

故cosC=cos[？仔-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=■

利用结论2由sinB=■？圯cosB=±■，若cosA=-■，cosA+cosB=■-■=-■

（二）三角形内角间的依存关系出发，进行挖掘

例8.若钝角三角形内角的大小成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，求m的取值范围。

错解：设钝角三角形内角从大到小依次为A、B、C，对应边为a、b、c，由A+B+C=π

由题意知B=■，由余弦定理cosB=■=■，

又c=am化简得a2+c2-b2=ac。将c=am代入得a2+a2m2-b2=a2m

即■=■0。m的取值范围是（1，+∞）。

剖析：当B=■时，C>■，忽视了隐含条件0■+■·■=2。

故m的范围是（2，+∞）。

以上笔者从四个方面谈论了三角问题中对隐含条件的挖掘与运用，在实际解题中可能还远不止这些，这要求学生在平时解题时要多留意、深挖掘方可炼出火眼金睛。

参考文献：

武增明.三角形问题中的“舍”从哪里来[J].中学数学，2008（9）.

（责编 高伟）