三角函数与导数、积分

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇三角函数与导数、积分范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

■

三角函数具有比较完备的函数性质，针对这一特点每年都有利用导数解决三角函数问题的高考试题，这是今后考查三角函数的一个重要方向，也是高考的重点. 一般地，这类题目常以填空题和解答题的形式出现，难度中等偏上.

■

三角函数是特殊的函数，解决此类问题的要点是理解求导的几何意义并熟记三角函数的求导公式，依照导数解决函数的策略来处理三角函数问题. 要注意把握好导数与函数的单调性的关系：①f ′（x）>0能推出f（x）为增函数，但反之不一定；②当f ′（x）≠0时，f ′（x）>0是f（x）为增函数的充分必要条件；③f ′（x）≥0是f（x）为增函数的必要不充分条件. 在实际应用中遇到端点的讨论问题，要谨慎处理.

■

■ 设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

破解思路 对于第（1）问，讨论单调性的关键是看导函数f ′（x）=a-sinx正负号变化的临界位置，借助三角函数y=sinx的有界性，分类讨论a的取值范围，求解单调区间即可. 对于第（2）问，不等式ax+cosx≤1+sinx在x∈[0，π]恒成立的问题可以转化为不等式cosx-1≤sinx-ax在x∈[0，π]恒成立的问题. 一般的解法是：若x=0，则0≤0，不等式成立；若x≠0，则不等式化为a≤■，原问题转化为求函数f（x）=■在区间（0，π]的最值问题. 这里介绍一种特殊值法：可先取特殊情况x=π，得到a的取值范围是a≤■，然后构造与不等式cosx-1≤sinx-ax所对应的函数g（x）=sinx-■x，转化为求函数的最值问题.

经典答案 （1）f ′（x）=a-sinx.

①当a≥1时， f ′（x）≥0，且仅当a=1，x=■时， f ′（x）=0，此时f（x）在[0，π]上是增函数；

②当a≤0时， f ′（x）≤0，且仅当a=0，x=0或x=π时， f ′（x）=0，此时f（x）在[0，π]上是减函数；

③当00， f（x）是增函数；当x∈（x1，x2）时，sinx>a， f ′（x）

（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，所以a≤■. 令g（x）=sinx-■x0≤x≤■，则g′（x）=cosx-■. 当x∈0，arccos■时，g′（x）>0，当x∈arccos■，■时，g′（x）

①当0≤x≤■时，■x≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；

②当■≤x≤π时， f（x）≤■x+cosx=1+■x-■-sinx-■≤1+sinx.

综上，a的取值范围是-∞，■.

■ 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0）的导函数y=f ′（x）的部分图象如图1所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.

（1）若已知φ=■，点P的坐标为0，■，则ω=_______；

（2）若在曲线段■与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为_________.

■

图1

破解思路 本题的导数只是一个载体，求导之后获得一个新函数f ′（x）=ωcos（ωx+φ），已知条件都是围绕这个新函数给出的，于是利用点P在图象上可以求解第（1）问. 第（2）问是测度为面积的几何概型，根据定义，分别算出三角形的面积及曲边形的面积，代入公式求解即可.

经典答案 （1）由已知，y=f ′（x）=ωcos（ωx+φ），当φ=■，点P的坐标为0，■时，ωcos■=■，所以ω=3.

（2）由图知AC=■=■=■，SABC=■AC・ω=■. 设A，B的横坐标分别为a，b，曲线段■与x轴所围成的区域的面积为S，则S=∫■■ f ′（x）dx=f（x）■■？摇=sin（ωa+φ）-sin（ωb+φ）=2，由几何概型知该点在？摇ABC内的概率为P=■=■=■.

■

函数y=sin■+cos■在（-2π，2π）内的递增区间是_______.