让概括能力在课堂中生长起来

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数学概括是一种能力,它不是静态的,是在数学学习活动中形成、运用并不断得到发展的思维动作。由此可见,概括能力具有过程性,同时是可以培养的。学生数学概括能力的培养应该在课堂中自然、有指向、有意识、有目的地生长起来。

本文以“三角形三边关系”教学片段为例,说明数学概括能力培养的过程性,以及对数学对象进行概括所要经历的几个阶段。

一、观察阶段

同桌两名同学合作,一个拿小棒,一个摆三角形。要求学生从长3 cm、3 cm、5 cm、7 cm、8 cm小棒中任意选出三根小棒围三角形,将可能想到的选法都整理到一张表格中。

学生活动整理表格(如下)

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全班交流,得出(2)(3)(5)这三组小棒都围不成三角形,其余组可以围成。

为了对三角形三边关系进行数学概括,首先应该观察若干实例。观察就是从所给数学材料的形式和结构中,辨认出对解决问题有效的成分,找到事物的主要特征和关键之处,从而把握事物的本质和内在联系。在上面的环节中,通过选小棒围三角形的情境,学生在合作摆三角形、整理数据的过程中,发现不同的数据组合影响了围三角形的结果。而围成或围不成都与三角形的三条边长度有关。

二、抽取阶段

引导学生对比分析(2)(3)(5)不能围成的情况,用课件演示第(2)种情况3、3、7,学生观察小结:“3+3=6,比7还少1厘米”。类比第(3)种情况3、3、8,学生推理“3+3=6,离得更远了,更不能围成。”第(5)种情况3、5、8,学生演示、争论、辅助课件动态演示、引导想象,发现两短边之和小于或等于第三边都不能围成三角形。进一步引导学生将(2)(3)(5)与另四种能围成三角形的情况对比,思考:三根小棒在什么情况下才能首尾相连围成三角形?学生概括如下:1.第三条边的长度一定要小于另外两条边的和;2.最短的两条边加起来要比另一条边长;3.两条边加起来的和要大于第三条边。

在上述教学中,通过分析、比较等手段,找到事物的本质特征。在本例中,抽取需要回答的问题是:表中的(1)(4)(6)(7)这四种能围成三角形的情况,相应的三边的长度有什么共同特征?我们可以直接研究这四种情况,也可以通过将这几种情况与(2)(3)(5)比较研究,从而把能围成三角形的三边长度的共同特征抽取出来。在研究(2)和(3)两种情况的过程中,让学生将两条短边之和与长边进行比较。在上面过程中,学生经历动手操作、列表整理、观察比较,发现三角形的三边关系即“两短边之和与长边的关系”。这是在类比中形成的初步概括。

三、推广阶段

教师先引导学生思考:是不是所有的三角形都具有这样的性质?如何研究这个问题?学生想到要举更多的例子来证明。在进一步举例验证的过程中,引导学生注意所举例要有广泛的代表性,比如按锐角三角形、钝角三角形和直角三角形分类举例,分组验证。接着教师出示三边长度(单位为cm)分别为:10、13、15的三角形。得出三道算式10+13>15,10+15> 13,13+15>10引导学生发现“两边之和大于第三边”指的是任意两边。

推广阶段要解决的是如何将特殊推广到一般,要让学生感受到本例中所有三角形都符合“任意两边之和大于第三边”这一结论,而不仅限于我们在观察与抽取阶段研究过的那些三角形。从小棒围三角形的数据观察——特殊三角形的三边关系发现——一般情况三角形的特征推理,学生经历了以上三个阶段的概括过程。学生的概括也由特殊到一般,从不完整到逐渐完善。

四、确认阶段

通过将三边关系的结论与三角形图形进行比较,让学生认识到,这个结论能确认三角形三边关系。

出示一些数据,判断以每组中的三个数据为长度的线段,能否围成三角形,进一步提问:有些同学判断的速度非常快,有什么窍门和大家分享吗?进而引导学生发现:只要最短两条边的和大于长边就可以围成三角形。

在前面的观察、抽取、推广等阶段所使用的方法大都是合情推理,带有假设的成分,所以概括出的数学对象的本质属性及共同特征,仍需要在符合学生认识水平的前提下,尽可能用科学的方法进行检验或证明。在本环节中,首先通过对一个一般三角形图形的分析,让学生把“三角形任意两边大于第三边”与“连接两点的折线长度大于线段长度”联系起来,从而进一步确认三角形三边关系。再通过一组判断题的练习及进一步讨论,抓住问题本质属性,引导学生进一步优化出两条短边之和大于第三边。

由此可见,让学生经历观察——抽取——推广——确认的四个阶段,是让概括能力成长的有效途径。(作者单位:江苏省泰兴市鼓楼小学)■

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