浅论数学教学与学生创新能力的培养

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摘 要： 数学教学中需要对学生进行多种能力的培养，其重点是对学生进行创新能力的培养.创新能力的核心是创造性思维能力，它具有独立性、运动性、跳跃性和发散性等特点.本文结合数学教学实践，谈谈如何培养学生的创造性思维能力.

关键词： 创新能力 创造性思维 求异思维 直觉思维 发散性思维

一、实行开放式教学，培养思维的独立性

实行以学生独立活动为主的开放式教学，是培养学生思维独立性行之有效的方法之一.教师应当真正重视学生在课堂教学中的主体地位，充分应用课堂演练、课堂讨论等能够保证让学生有较多独立活动时间的教学手段，鼓励学生敢于发表独立见解，大胆创新，不受课本和教师传授内容的束缚，甚至要敢于怀疑和否定课本中和或教师传授中的某些内容.

例如：已知sinα=■，cos（α+β）=■，且α，β都是锐角，求cosβ.

学生的普遍解法是：

sinα=■且α为锐角.

cosα=■，又cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，

而且β为锐角，■cosβ-■■=■，

整理得cos■β-■cosβ+■=0，

cosβ=■.

有几个学生的解法与众不同：

根据已知条件可得：cosα-■，sin（α+β）=■

cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα

=■×■+■×■

=■

这几位同学用了β=（α+β）-α这个技巧.教师很高兴地介绍这种技巧，并将这种简捷的解法与前者对比，这也正是这位教师选此题的目的.

然而，有一位学生却说：“我还有一种更简捷的解法，就是查表！”教师说：“这种题目一般不能查表，查表求出的是近似值，何况此题查表并不简捷！”这位学生很固执，继续说：“通过查表，会发现此题有问题.”教师惊住了，大多数学生都笑了起来，教师停了一下，微笑着鼓励学生将自己的解法先写在黑板上：

sinα=■，cosα+β=■>0，且α，β为锐角，

α？勰45°35′，α+β≈38°13′，

故β≈38°13′-45°35′=-7°22′

这位学生的解法显然是正确的.教师引导学生思考并充分肯定了这位学生敢于求异的精神，鼓励学生大胆创新.

二、让学生学会联想，培养思维的运动性

要有所创造，就必须提出和解决众人“没想到”的问题.而这些问题又不是凭空产生的，它包含在很多平常的问题中，只有那些善于“由此及彼”的人才能想到.这种“由此及彼”的联想能力，被称为运动性思维能力.

例1：求函数y=■+■的定义域.

解：容易求得此题的答案是0

如：y=■+2■，y=tanx+arcsinx，y=■，等等.

例2：如果x■-2xy+2y■=2，求证：-■≤x+y≤■.

分析：本题看似无从下手，但只要将条件变形为

■+■=1

立即联想到sin■α+cos■α=1

于是令x-y=■sint，y=■cost，可得

x+y=■sint+2■cost=■（■sint+■cost）

=■sin（t+φ）（其中sinφ=■，cosφ=■）

易得-■≤x+y≤■

上例中，联想起到非常巧妙的作用，将两类不同的事物联系到一起，从而得到了问题的解答.

三、鼓励大胆想象，培养思维的跳跃性

爱因斯坦说：“想象力比知识更重要.因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切.严格地说，想象力是科学研究中的实在因素.”创造性想象对于创造性思维的产生和发展，有着极大的作用.因为科学上的许多“发现”都是凭直觉作出的猜想，而后才去加以证明或验证的.

例3：比较n■与（n+1）■的大小（n∈N）

观察：1■5■，…

猜想：（1）当n=1，2时，n■

（2）当n≥3时，n■>（n+1）■

证明：（1）显然

（2）可利用数学归纳法证明

例4：两个男孩各骑一辆自行车，从相距20千米的两个地方，开始沿直线相向骑行.在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去.它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行.这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止.如果每辆自行车都以每小时10千米的等速前进，苍蝇以每小时15千米的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少千米？

解：每辆自行车运动的速度是每小时10千米，两者将在1小时后相遇于20千米距离的中点.苍蝇飞行的速度是每小时15千米，因此在1小时中，它总共飞行了15千米.

很多人试图用复杂的方法求解这道题目.他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程.但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学.

由此可见，直觉、猜想往往是走向成功的关键.在培养思维跳跃性的过程中，还可以使学生学会“观察―猜想―证明”的思考方法，在创新过程中获得成功.

四、组织一题多解教学，培养思维的发散性

从心理学的角度讲，创造性思维是集中性思维和发散性思维的有机结合.因此，数学教学中要重视对学生进行发散性思维能力的培养，如组织一题多解，一问多答，一空多填，一图多画等训练.

例5：正三角形两个顶点的坐标A（1，0），B（2，1），第三个顶点C在第一象限，求C点坐标.

要求得此例结果是不难的.但如果能就本例组织一题多解教学，那么就能起到巩固基础知识，提高基本技能，沟通知识的横向联系，培养学生发散性思维能力的作用.

解法1（方程法）

ABC是正三角形，易知|AB|=■

|AC|=|BC|=■

由两点间距离公式得方程组：

（x-1）■+y■=2（x-2）■+（y-1■）=2

C为第一象限，即x>0，y>0

方程组的解是x=■y=■，即C点坐标（■，■）.

解法2（三角法）

作CDOA，垂足为D，

在直角三角形ADC中，易知

|AC|=■，∠CAD=75°

x=|OD|=|OA|-|AD|=1-■cos75°=■

y=|CD|=■sin75°=■，即C点坐标为（■，■）.

解法3（复数法）

在复平面中，设■=x+yi

■=■+■

=1+AB（cos60°+isin60°）

=1+（1+i）（■+■i）

=■+■i

x=■，y=■，即C点坐标为（■，■）

解法4（参数法）

直线AC的参数方程为x=1+tcos105°y=tsin105°（t为参数）

C点对应的参数t=2，

C点坐标为：x=1+■cos105°=■y=■sin105°=■

即C点坐标为（■，■）.

解法5（几何法）

作BEOA，CDOA，BFCD

易证直角BCF？艿直角CAD

即CD=BF=DE而C点在第一象限

x=OD，y=CD=DE

而DA=1-x，CD=DE=2-x

由勾股定理得：DA■+CD■=AC■

即（1-x）■+（2-x）■=2

解得x=■，y=■，即C点坐标为（■，■）.

综上所述，数学教学对学生创新能力的培养，关键在于激发学生创造性思维的兴趣.具体地说，在数学教学中既精心组织发散性较强的问题，促进智能探索，又注重学生的心理和思维特征，激发探索兴趣，培养钻研精神；既指导学生拓宽知识范围，加深知识理解的深度、广度，又促进学生夯实基础知识，掌握基本技能.指导学生在思维活动中灵活运用形象思维，发散思维和直觉思维，使学生在独立探索和钻研中领会数学思维的规律和方法，吸取经验，努力做出新的突破.

参考文献：

[1]吴建平.浅谈数学教学活动中学生创新能力的培养[J].数学学习与研究，2010，10.

[2]李新荣.浅议如何培养学生的数学创新能力[J].科技致富向导，2011，02.

[3]廖菊芳.培养发散思维提高学生学习数学的创新能力[J].数学学习与研究，2010，14.

[4]崔鸣婧.数学教学中培养学生创新能力浅谈 [J].赤峰学院学报，2009，11.