α次积分半群的Laplace逆变换

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摘要: 以积分C半群生成定理的laplace刻画为基础，结合α次积分半群及Gamma函数的性质，推导出指数有界α次积分半群的2种Laplace逆变换形式及相应的2个推论.

关键词: α次积分半群；Gamma函数；Laplace逆变换

中图分类号:O 177.2 文献标志码:A 文章编号:1672-8513(2011)03-0190-05

Laplace Inverse Transformation for α Times Integrated Semigroups

LIU Chunjing, SONG Xiaoqiu

（College of Science, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221008, China）

Abstract: Based on the generation theorem in terms of the Laplace transformation and the properties of times integrated semigroups and Gamma function, two kinds of the Laplace inverse transformation as well as two deductions of exponentially bounded times integrated semigroups are deduced.

Key words: α times integrated semigroups; Gamma function; Laplace inverse transformation

[HJ*5/9]

1 预备知识

随着对半群理论的深入探讨,Miyadera［1］受Arendt［2-3］关于积分半群工作的启发，引入了积分C半群的概念，郑权［4-5］,Neubrander［6-7］等进一步扩展了其理论. Hieber［8-9］借助Laplace 变换定理，引入了α次积分半群的概念，推广并改进了n次积分半群理论中的一些结论及应用.

随后,施德明,杨录山［10］讨论了指数有界C半群的Laplace逆变换，曹德霞［11］结合半群间的关系得到了n次积分C半群的Laplace逆变换，而荣嵘［12］利用Hening和Neubrander［13］的结果用另外的方法推导出积分C半群的Laplace逆变换.本文就是在这些结果之上，以积分C半群生成定理的Laplace刻画为基础，结合α次积分半群及Gamma函数的性质，推导出指数有界α次积分半群的2种Laplace逆变换形式及相应的2个推论.

定义1.1 设α≥0，BX中强连续算子族Stt≥0若满足

[KH*2]

1) S0=0；

[KH*2]

[JP5]2) StSsx=1Γα∫ts+tt+s－rα－1Srxdr－∫0st+s－rα－1Srxdr[JP]，s,t≥0,x∈X.

[KH*2D]

则称Stt≥0为α次积分半群；

3) S(t)x=0t≥0蕴含x=0,称Stt≥0为非退化的；

4) S(t)≤Meωt,t≥0,称Stt≥0为指数有界的.

定义1.2 设α≥0，BX中强连续算子族Stt≥0,称为由A生成的指数有界α次积分半群,如果S0=0,并存在非负实数ω,M,使得(ω,∞)ρ(A),S(t)≤Meωt,且对任意λ>ω,和x∈X,有

[KH*2]

R(λ,A)=(λ－A)－1x=λα∫0+∞e－λtS(t)xdt.

[KH*2]

故X上的零次积分半群即为C0半群

当α=n,n∈N+时,α次积分半群即为n次积分半群.

引理1.3［14］ A为α次积分半群S(t)t≥0的生成元，则

1) x∈D(A),S(t)x∈D(A)且AS(t)x=S(t)Ax,

[KH*2]

Stx=tαΓ(α+1)x+∫0tS(s)Axds；

[KH*2]

2x∈X,∫0tS(s)xds∈D(A) 且

[KH*2]

A∫0tS(s)xds=S(t)x－tαΓ(α+1)x .

[KH*2]

引理1.4［10］ 设A是指数有界C半群S(t)t≥0的无穷小生成元，S(t)≤Meωt，γ>max{0,ω}，则对x∈D(A)，有

[KH*2]

∫0tSsxds=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eμtμ－A－1Cxdμμ,

[KH*2D]

且右端积分在t的任何有限区间上是一致收敛的.

推论1 设A是指数有界C半群S(t)t≥0的无穷小生成元，S(t)≤Meωt，γ>max{0,ω}，则对x∈D(A2)，有

[KH*2]

S(t)x=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eμt(μ－A)－1Cxdμ,

[KH*2D]

且右端积分在t的任何有限区间上是一致收敛的.

推论2 设A是指数有界C半群S(t)t≥0的无穷小生成元，S(t)≤Meωt，γ>max{0,ω}，则对x∈X，有

[KH*2]

∫0[KG-*3]t(t－s)S(s)xds=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eμt(μ－A)－1Cxdμμ2,

[KH*2D]

且右端积分在t的任何有限区间上是一致收敛的.

引理1.5［13］ 令ω≥0,F(λ):(ω,∞)X,设F(λ)满足laplace型表达式：

[KH*2]

F(λ)=λ∫0[KG-*3]∞e－λtα(t)dt,α(t)=0且α(t+h)－α(t)≤Mheω(t+h),t,h≥0，则

[KH*2D]

α(t)=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtF(λ)dλλ,(γ>ω)[JY](1)

[KH*2D]

且右端积分在t的任何有限区间上是一致收敛的.

引理1.6［15］ 设α≥0，则下列结论等价:

1) A生成一个指数有界α次积分半群S(t)t≥0;

2) 存在ω>0,使得(ω,∞)ρ(A),且对所有μ>ω,A生成一个指数有界(μ－A)－α半群T(t)t≥0.且有T(t)=(μ－A)－α(ddt)［α］+1(j－(α)S)(t).

2 主要结论

首先介绍函数的分数次微分和积分.

对任意α>0，函数u在t0点的α阶导数记为(Dαu)(t0)=ω(n－1)(t0).

若u对所有的t∈［0,T］是α阶连续可微的，称u在［0,T］上连续可微，并记Cα(［0,T］,X)为［0,T］上所有α阶连续可微函数.

对任意α>0，函数u的α次累积分(Iαu)(t)=(jα－1*u)(t).

引理2.1［16］ 1) 若f∈Cα,则(Dαf)(t)=(ddt)n(jn－α－1*［f－f(0)］)(t)；

2) 若f∈C，则DβIαf=Iα－βf，对所有β∈［0,α］成立，特别地DαIαf=f；

3) 若f,g∈C，则Dα(Iαf*g)=f*g；

4) 若f为常数，则(Dαf)(t)=0；

5) 若g(t)=tαΓ(α+1),则g(t)∈Cα［0,T］且(Dαg)(t)=1.

定理2.2 设S(t)t≥0为由A生成的指数有界α次积分半群,则

1) 对所有x∈D(Ak),k=1,2…,［α］,t>0,有S(t)x∈Ck(R+,X),且

[KH*2]

[JZ]Sk(t)x=S(t)Akx+∑ki=1jα－i(t)Ak－ix;

[KH*2]

2) 对所有x∈D(A［θ］+1),0≤θ

[KH*2]

[JZ][JP5](DθS)(t)x=(j-(θ)*S)(t)A［θ］+1x+∑[DD(]［θ］+1[]j=1[DD)]jα-(θ)+1-j(t)A［θ］+1-jx;[JP]

[KH*2]

3) 对所有x∈D(A［θ］+1),0≤θ0,有(DθS)(0)x=0,当x∈D(A［α］+1)时，有(DαS)(0)x=x .

证明 1) 对引理1.3中(1)式两端进行k次求导,即

[KH*2]

S′(t)x=αtα－1Γ(α+1)x+S(t)Ax=jα－1(t)x+S(t)Ax,

S″(t)x=jα－2(t)x+S′(t)Ax=S(t)A2x+jα－1(t)Ax+jα－2(t)x,

…

S(k)(t)x=S(t)Akx+∑ki=1jα－i(t)Ak－ix.即证

[KH*2]

2) 由S(t)为α次积分半群,［α］≤α

再根据函数的分数次微分的定义和性质

[KH*2]

(DθS)(t)x=ddt［θ］+1(j－(θ)［S－S(0)］)(t)x=ddt［θ］+1(j－(θ)S)(t)x,

[KH*2D]

由文献16知(j-(θ)S)(t)为α－(θ)+1次积分半群,

结合结论1，将k替换为［θ］+1，α替换为α－(θ)+1即得.

3) 将t=0带入结论2即得结论成立.

定理2.3 设A是X上的闭线性算子,ρ(A)≠Φ, λ∈ρ(A),且A是指数有界α次积分半群S(t)t≥0的无穷小生成元，S(t)≤Meωt(ω≥0)，γ>ω，则对x∈D(A)，有

[KH*2]

∫t[KG-1]0S(s)xds=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)xλαdλλ=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞(IαeλtR(λ,A)x)dλλ,

[KH*2D]

且右端积分在t的任何有限区间上是一致收敛的.

证明 由S(t)≤Meωt(ω≥0),令α(t)=∫t[KG-1]0S(s)xds,F(λ)=(λ－A)－1xλα,x∈D(A)

显然α(t)满足引理1.5的条件,又由定义1.2有

[KH*2]

F(λ)=(λ－A)－1xλα=∫+∞[KG-2*2]0e－λtS(t)xdt=∫0+∞e－λtxd∫t[KG-1]0S(s)ds=λ∫+∞[KG-2*2]0e－λt(∫t[KG-1]0S(s)xds)dt(λ>ω),

[KH*2]

亦满足引理1.5的条件,将α(t)及F(λ)带入(1)式得

[KH*2]

∫t[KG-1]0S(s)xds=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)xλαdλλ (γ>ω).

[KH*2]

另一方面由引理1.6知A亦生成一个指数有界(μ－A)－α半群T(t)t≥0,再由引理1.4,对x∈D(A),有

[KH*2]

∫t[KG-1]0T(s)xds=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλt(λ－A)－1(μ－A)－αxdλλ=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλt(λ－A)－1R(μ,A)αxdλλ=

R(μ,A)α2πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλt(λ－A)－1xdλλ.

[KH*2]

据引理2.1得S(t)=(μ－A)α(IαT)(t)(2).

于是有[KH*2]

∫t[KG-1]0S(s)xds=(μ－A)α∫t[KG-1]0(IαT)(s)xds=(μ－A)α(Iα∫t[KG-1]0(T)(s)xds)=

(μ－A)αR(μ,A)α2πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞(Iαeλt(λ－A)－1x)dλλ=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞(IαeλtR(λ,A)x)dλλ.

[KH*2]

即证, 且右端积分在t的任何有限区间上是一致收敛的.

推论1 条件与定理1相同，则有对x∈X

[KH*2]

S(t)x=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)xλαdλ=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞(IαeλtR(λ,A)x)dλ.

[KH*2]

证明 由定理1知∫t[KG-1]0S(s)xds=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)xλαdλλ ,

上式两端同时作用以A,得A∫t[KG-1]0S(s)xds=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)Axλαdλλ ,

再由引理1.3以及式tαΓ(α+1)=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtλ－α－1dλ得

[KH*2]

S(t)x=tαΓ(α+1)x+12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)Axλαdλλ=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtλ－α－1xdλ+12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)Axλαdλλ=

12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)xλα(λ－A+A)dλλ=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)Axλαdλ

[KH*2]

结合引理1.4的推论及(2)式即可证明另一半.

推论2 条件与定理1相同，则有对x∈X

证明 由定理1知∫t[KG-1]0S(s)xds=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)xλαdλλ (x∈D(A))

上式两端同时从0到t积分得

[KH*2]

∫t[KG-1]0(t－s)S(s)xds=12πi∫t[KG-1]0∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλsR(λ,A)xλαdλλds=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞(eλt－1)R(λ,A)xλαdλλ2

[KH*2]

由于 12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞R(λ,A)xλαdλλ=0

故对x∈X,有

[KH*2]

∫t[KG-1]0(t－s)S(s)xds=12πi∫γ+i∞[KG-3*2]γ－i∞eλtR(λ,A)xλαdλλ2

[KH*2]

结合引理1.4的推论及(2)式即可证明另一半.

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收稿日期:2010-10-11.

基金项目:国家自然科学基金（10671205）；中央高校基本科研业务费专项资金项目（2010Lksx08）.

作者简介:刘春景（1985-），女，硕士研究生.主要研究方向：算与半群.