多圆柱上α次殆β型螺形映射偏差定理的下界估计

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摘要本文利用单位多圆柱上次殆型螺形映射的齐次展开式的系数估计以及精确增长定理，得到多圆柱Un上次殆型螺形映射偏差定理的下界估计，并得到特殊情形型螺形映射、 次殆星形映射及星形映射的相关结果。

关键词单位多圆柱 全纯映射 次殆 型螺形映射

中图分类号：O185 文献标识码：A

The Distortion Lower Bound of Almost Spiral Like Mappings

of TypeWith Orderon the Polydisk

HU Rong

(Mathematics and Financial Department, Sichuan Academy of Arts and Sciences, Dazhou, Sichuan 635000)

AbstractThis article typewith orderon the polydisk mapping estimate of coefficient of homogeneous expansions and precise growth theorem, results the distortion lower bound of almost spiral like mappings of typewith orderon the polydisk Un, so as the start mapping and its reference results of of typewith orderspiral like mappings.

Key wordspolydisk; almost mapping; spiral like mappings of typewith order

0 引言及预备知识

记X为具有范数||・||的复Banach空间，Un为Cn中单位多圆柱。

定义1①设UX为开集，f : UY，若对z∈U，若有线性映射Df(z) :XY，使得

则称f为U上的全纯映射，并称Df(z)为f在点z处的Frchet导数。

定义2设∈[0,1)，，f为单位多圆Un柱上的正规化局部双全纯映射，记g (z) = (Df(z))-1 f(z)若

则称f为Un上次殆型螺形映射，其全体记为ASr(Un)

分别令 = 0， = 0，及 = 0且 = 0，则相应的映射分别是Un上的型螺形映射、次殆星形映射及星形映射，其全体分别记为Sr(Un),AS*(Un),S*(Un)。

2005年，刘太顺与刘小松得到了多圆柱上星形映射的偏差定理。②本文将利用次殆型螺形映射的精确增长定理③及次殆型螺形映射的齐次展开式的系数估计，④把注释②中定理B推广到单位多圆柱上，得到Un上次殆型螺形映射偏差定理的下界估计，该结论将为进一步完整地研究多复变数次殆型螺形映射的偏差性问题提供重要帮助。

1 一些引理

引理1⑤ 设∈[0,1)，g : UnCn是Un上的正规化全纯映射，若，z∈Un

其中|zj| = ||z|| = {|zk| }，则

引理2[3] 若,z∈Un有

(1) 当≠时，，其中Ck, = ；

(2) 当 = 时，

2 主要结果及其证明

定理1若,z∈Un则

(1) 当≠时，

其中Ck, = ；

(2) 当 = 时，

证明：令g(z) = (Df(z))-1 f(z) = z + gm(z), z∈Un

由于z = 0是f (z) - z的k + 1（k∈N）阶零点，直接计算可得gm(z) = 0, m = 2,3,…,k

故g(z) = (Df(z))-1 f(z) = z + gm(z), z∈Un

由可得，

于是，由引理1可得

||gm(z)||≤2(1-)cos||z||m，z∈Un，m = k+1,k+2,…

因此

,z∈Un

另一方面||f (z)|| = ||(Df (z))g(z)||≤||Df (z)||・||g(z)||

由引理2，当≠时

故

当 = 时,

故在定理1中分别令 = 0， = 0，及 = 0且 = 0，得到如下推论。

推论1 若，则

推论2 若则

（1）当≠时，

其中Ck, = ；

（2）当 = 时，

推论3 若f ∈S*k+1（Un），则

特别地，当k = 1时，推论3即为多圆柱上星形映射的偏差定理【2，定理B】。

注释

①龚N.多复变数的凸映照与星形映照[M].北京:科学出版社,2003．

②刘小松,刘太顺.正规化双全纯映细的展开式系数估计[J].中国科学,2005:1-371．

③刘爱超.螺形映射几个子族的若干性质[D].开封:河南大学,2005:1-33．

④⑤刘小松,刘太顺.两类正规化双全纯映照子族齐次展开式的精细估计[J].数学学报,2007.50（2）：393-400．