“助人为乐”的参数
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借物抒情、以物寓情、借喻指代、咏物拟人、穿越联想等都是诗歌的表现手法.数学虽以严谨的理性见长，但数学绝不拒绝诗意，连革命导师列宁都说：“有人认为，只有诗人才需要幻想，这是愚蠢的偏见！数学也是需要幻想的，若没有幻想，就不可能发明微积分.”说得多好啊！数学是理性的，但又是富有诗意的，如最重要的无理数之一π就充满了诗意，全宇宙的圆，其周长与直径之比都等于π．若用弧度制计量角的大小，那么就有“180°=π”这个“匪夷所思”的等式！y=kx＋b(k≠0)，明明是一次函数，却有“直线y=kx＋b”之说.有人非常惊讶：这不是“指鹿为马”吗？哦，在文学修辞中，这叫做借代，也是诗意化的一种表现手法.
一、 参数“助人为乐”的诗意理解
具有了诗意，人们视野开阔，浮想联翩，想象丰富，情感就具有了浪漫的色彩，所说、所撰的文字也就有了更强的穿透力和震撼力.诸如“月亮代表我的心”、“我听到太阳的歌声”等似乎有悖常理的诗句，人们不仅接受了，且感觉更具感染力.瓜农买了西瓜假种子，致使西瓜绝收，损失惨重，一位小学生没有写：“瓜农在哭泣”，而写：“西瓜在哭泣”，更容易使人产生情感共鸣.常见的还有这样一句话：“脸上写满了幸福”，“幸福是‘写’在脸上的吗？荒唐！”你缺乏诗意，一个“写”字，使幸福变得异常生动形象.这样一来，说参数“助人为乐”也就顺理成章了.请看下面的框图：
动点P的轨迹曲线C
在曲线C上取点Q（x,y）
x=f（t）y=g（t）
曲线C的方程F（x，y）=0
已知动点的轨迹为曲线C，欲求曲线C的方程，虽然在曲线C上可任取点Q(x，y)，但有时很难发现两个变量x，y之间的直接关系，题解处于“危难”之际，参数t高喊：“我来也！”而建立x，y与参数t之间的关系比较容易，则得曲线C的参数方程.又根据需要，须将参数t消去，则又得曲线C的普通方程.回顾上述过程，参数t义不容辞地来了，又悄无声息地走了，真的是见义勇为、不图名利的高尚义举啊！所以有人联想到唐朝著名诗人李商隐的诗句：“春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干. ”歌颂的是“春蚕、蜡炬”的奉献精神，但这里的感彩过于低沉.为扶危济困，即使献出了宝贵的生命也在所不惜.看报春的梅花，她的思想境界就高多了，“俏也不争春，只把春来报.待到山花烂漫时，她在丛中笑”！不争春的梅花最后在百花从中笑了！春蚕、蜡炬，别哭，笑吧！
解
析
设点P(m+1cos θ，sin θ).
由已知，得c=m，所以F1 (－m，0)、F2(m，0).
由PF1PF2，得F1P・F2P=0，则sin2 θ+(m+1)cos2θ－m=0．
化得m=1sin2 θ(因为P点不可能在x轴上，所以sin θ≠0)，故m≥1.
此题用的到底是椭圆的参数方程，还是三角代换，已经不重要了，关键是将P点的坐标变成只含一个变量θ，使问题单纯多了.
三、 真的离不开参数吗
虽然前面说过参数有“助人为乐”的优秀品质，但“自尊心”特强的人说：我就是不想去麻烦它！这就有了一个非常尖锐的问题，真的离不开参数吗？例1用参数θ可使题解简捷一些，但不用参数也可以解决.可也要知道，在某些时候，参数却是非用不可的哦！
例2
在直角坐标系xOy中，设点A(2，0)，B与C是y轴上的两个动点，且满足BC=2，求ABC的外心Q的轨迹.
图1
解
析
如图1，因为B，C是y轴上的动点，所以这两点的纵坐标为变量.又BC=2，所以可设B(0，t－1)、C(0，t＋1)，其中的t为参数.
则线段BC的垂直平分线为l1：y= t .①
当B不与原点O重合时，可求得线段AB的垂直平分线
l2：y－t－12=2t－1(x－1)(t≠1) . ②
将①代入②式，得y－y－12=2y－1(x－1)(y≠1)，
化得y2=4(x－34)(y≠1) .③
又当y=t=1时，AB的斜率为0，直线l2的斜率不存在，此时C(0，2)，RtABC的外心为AC的中点Q(1，1)，也满足方程③.
故ABC的外心Q的轨迹方程即为y2=4(x－34)，表示顶点在(0，34)，开口向右的抛物线.
在这里，ABC两边的垂直平分线方程中都含参数t，这是根本回避不了的.改变心态吧，参数是来帮助我们的，它使我们在解题时实现化阻为通、化繁为简，对它该有一颗“感恩”的心才是.BC是在y轴上作平行移动的线段，t可称为“线参数”，简称“线参”.“线参”与平移有关，宝贵经验！
例3
在直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，A为直角顶点，A，C分别在x轴、y轴上滑动，求另一顶点B的轨迹的普通方程.
解
析
设AC=AB=a(为正常数)，B(x，y)，∠OAC=θ．
辅助线如图2，不难得x=acos θ+asin θ, ①
y=acos θ. ②
图2
将②式代入①，得x=y＋asin θ，即x－y=asin θ，
所以(x－y)2＋y2=a2， 化为x2－2xy＋2y2－a2=0.
又由①知|x|≤2a，由②知|y|≤a.
故点B的轨迹的普通方程为x2－2xy＋2y2－a2=0(|x|≤2a，|y|≤a).
此题中的ABC 在旋转呢，所以选择参数θ，被称为“角参”.哦，平移与“线参”有关，旋转与“角参”有关，这是两种最基本的选参方式.
参数应用的范围很广，决不仅仅限于轨迹方程问题，请看下例：
例4
已知点P(x，y)是圆x2＋y2=2y上的动点.
(1) 求2x＋y的取值范围；
(2) 若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a 的取值范围.
解
析
不用参数方程，此题也能解决，但必须承认参数方程在特定情境中解决问题时的优越性.
(1) 由x2＋y2=2y，可得x2＋(y－1)2=1，所以可设x=cos θ，y=1＋sin θ(θ∈R).
则2x＋y=2cos θ＋sin θ＋1=
5sin (θ+φ)＋1∈\[1－5，1+5\].
(2) 同(1)所设，转化为cos θ＋sin θ＋1＋a≥0恒成立，即a≥－(cos θ＋sin θ＋1)恒成立.
又cos θ＋sin θ＋1=2sin (θ+π4)+1的最小值为1－2，
所以－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值为2－1，故a≥2－1．
有两点感慨：我们已与参数建立了深厚的感情，虽然参数绝对不能“包打天下”，但它也是我们的好帮手，在某些关键时刻它可以帮我们“化险为夷、遇难成祥”；在前面谈到三角代换时，涉及到引入辅助角的变换，在后来的解题中竟不止一次用到了这种重要变换，可见其威力.