解析几何课程教学中线面教学方法
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摘要：解析几何理论推动了许多学科的发展，其已经成为理工科很多专业的必修课程，但是由于解析几何的抽象性，大部分学生在学习过程中感觉这门课程的概念以及定理非常难懂，尤其是在解析几何平面与直线方面更是无从下手。本文就是对解析几何中的平面与直线进行分类，然后对每一类平面和直线给出处理方法，让学生对这类问题的求法有一个清晰的把握。
关键词：几何理论；平面；直线；求法
解析几何利用代数方法研究空间直线、平面、二次曲面、常用的一些特殊曲线和曲面的几何性质以及平面二次曲线的一般理论，是高等学校数学类专业一门必修的基础课。解析几何可以为高等代数及数学分析提供直观的几何背景，为领悟其结论的精神实质提供最为直接的帮助。解析几何也是学习其他后继课程的重要基础。它不仅在数学学科中占有十分重要的地位，在其他学科领域也有广泛的应用。这门课程可以培养学生的空间想象力及运用矢量法与坐标法解决几何问题的能力，加深对中学几何理论与方法的理解，从而获得处理中学几何问题的能力，借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力。解析几何是大学数学系本科课程中的一门重要学科，也是很多工科本科生的基础课。然而很多学生学习此课时感觉很迷惑，抓不住重点，厘不清此课程的主要内容。本质上，解析几何课程主要有两大类内容：一是曲面，另一个是曲线。
曲面又分为很多分支，如柱面、球面、锥面、平面、二次曲面等。学生不仅要掌握每一种曲面的定义、特征，更重要的是掌握曲面方程的推导。比如柱面，柱面中重要的元素是母线和最近方向、准线。给一个方程，找出它的准线、母线，此方程才表示柱面。所以首先要对定义理解透，其次是关于曲面的方程。曲面方程有很多形式，比如说平面，它有点位式、三点式、点法式、截距式、一般式、法截式。如此多的方程形式，很多学生在碰到求平面方程的问题时，就不知如何下手，不知道该用哪种形式。这几种形式计算较为烦琐的是三点式和法截式，三点式实质就是点位式，还要再计算三阶行列式。法截式只有已知相应的条件才会采用这种形式，比较少见。最常用的就是点法式和点位式。点法式只要已知点的坐标和法向量代入相应的形式即可。当然，要根据具体问题给的条件选择最合适的形式。比如，给了两个点平面过一点，又给出了平面的法向量，最好用的就是点法式。但万一给的条件很多，那就可以统一用一种形式，那就是点法式。
曲线主要分为空间中的曲和平面中的曲线，空间中的曲线，主要有参数式和一般式。参数式要根据空间的维数确定参数的个数，在这里一定要掌握好参数式和一般式的互化。一般式就是两个曲面的交线，所以参数式转化为一般式就是我们熟知的消参法。一般式转化为参数式一定要选好参数，基本的方法就是根据高中所学的特殊的选参数方式。空间曲线的另外一种特殊的形式便是直线。直线有两点式、对称式和一般式。两点式就是已知直线过的两点的坐标，套用两点式便可求出直线的方程。对称式是已知直线的方向向量和其中一点的坐标，由此可求直线方程。一般式就是两个平面的交线，求出两个平面，联立平面的方程就是直线的一般式。但是如果给的条件比较多，应该怎么去求直线方程呢？对于此类问题，可选一种形式，比如只用对称式，那只需根据条件找出直线所过的点以及直线的方向向量即可。这样就会避免条件太多不知道该套用直线哪种形式的困惑。
对于其他的内容，那就是线线关系、线面关系、面面关系。每一种关系都有标准的判别方法，这里稍微复杂的就是线线关系，因为线线关系牵扯到共面和异面的问题，而共面还要分为相交、平行等关系。这里都有根据直线的方向向量和点的坐标来判别线线关系，只需记忆辨别方法即可，严格按照判别方法去解题应该不会有差错。关于线面关系比较简单，就是相交、平行和在平面内。教科书上是根据代数的方法来判别这三种形式，具体就是根据线面相交的交点个数来判断，如果交点只有一个就是相交；如果没有交点就是平行；如果交点是无数个，那么直线肯定在平面内。关于面面关系，就是相交、平行和重合。可以根据平面法向量之间的关系来判断面面关系，只需要记住相应的判断公式就可以。
总之，只要将平面与直线的问题搞清楚，那对于一般的曲面与曲线，理解起来就容易得多。虽然关于曲面与曲线的方程看似很抽象，实际只不过是特殊化的一种推广而已！对于整个关于线面的知识点，都可以根据条件运用一种形式计算相应的方程即可，这样就不会看到题目时不知道该用哪种形式去代入。所以不管碰到题目的条件再多，只需根据条件计算即可求出结果。
参考文献：
[1]吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1986.
[2]刘海蔚，吴小平.解析几何学[M].重庆：西南大学出版社，1994.
[3]朱鼎勋，陈绍菱.空间解析几何学[M].北京：北京师范大学出版社，1981.