柯西均值法 证分式不等式的灵丹妙药

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内容提要：本文将柯西不等式

aibi2与均值不等式≤

γ≤（γ≥1）联合使用，使一类分式不等式的证明变得十分简捷． 这种证明方法操作程序固定，易于掌握．

众所周知，柯西不等式（a+a+…+a）（b+b+…+b）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2（ai∈R，bi∈R，ai=kbi时取等号，i=1，2，3，…，n）与均值不等式≤

γ≤（ai∈R+，i=1，2，3，…，n，a1=a2=…=an时取等号，γ≥1）在不等式的证明中有着十分重要的作用． 本文将这两个重要的不等式联合使用，使一类分式不等式的证明变得十分简捷． 我们把这种证明方法称为柯西均值法． 下面，我们用一些具体的例子来说明这种方法的操作程序．

例1（第36届IMO试题的推广）设正实数a，b，c满足条件abc=1，n∈N*，试证：

＋＋≥．

证明：用a2nb2nc2n替换所证不等式左边的分子1，所证不等式变形为＋＋≥． 由柯西不等式和均值不等式，・［a（b＋c）＋b（c＋a）＋c（a＋b）］≥［（bc）n＋（ca）n＋（ab）n］2≥3

2=（bc＋ca＋ab）2n．

由此，得＋＋≥（bc＋ca＋ab）2n-1≥［3］2n-1=・32n-1=．

所以，原不等式成立．

例2（第28届IMO预选题）设a，b，c是三角形的三边，a+b+c=2S，试证：++≥

n-2Sn-1（n∈N*）．

证明：当n=1时，++≥显然成立． 当n≥2时，由柯西不等式和均值不等式，得

（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）］≥a

例3（第31届IMO预选题）设正实数a，b，c，d满足条件ab+bc+cd+ad=1，试证：+++≥．

证明：由已知条件ab+bc+cd+ad=1，得（a＋c）（b＋d）=1，b+d=． 由柯西不等式和均值不等式，得

由此得+++≥（a+b+c+d）2=a+c

+2≥・4=．

例4（1984年全国高中数学竞赛题的推广）设xi∈R+（i=1，2，3，…，n），x1x2x3・…・xn=1，α≥2，试证：+++…++≥n．

证明：由柯西不等式和均值不等式，得

＋＋＋…＋＋≥（x1＋x2＋x3＋…＋xn）α-1

≥（n）α-1==n．

例5设xi∈R+（i=1，2，3，…，n），xi=a，α≥2，试证：+++…+≥．

证明：由柯西不等式和均值不等式，得

［（a－x1）＋（a－x2）＋（a－x3）＋…＋（a－xn）］≥x

2=（x1+x2+x3+…+xn）α=aα……（*）

其中，（a－x1）＋（a－x2）＋（a－x3）＋…＋（a－xn）＝na－（x1+x2+x3＋…＋xn）＝（n－1）a．

将此结论代入（*）式整理得+++…+≥．

例6设正实数x1，x2，x3，…，xn满足条件x1x2x3…xn=1，α∈R且α≥3，n∈N且n≥3，试证：+++…+≥，其中∑i表示从x1，x2，x3，…，xn中任取n-2个作乘积，所有可能情况的积之和，共有n-1个项（i＝1，2，3，…，n）．

证明：xxx・…・x替换所证不等式左边分子的1，所证不等式变形为+++…+≥①

设①式左边为M，则由柯西不等式和均值不等式，得

M（x1∑1＋x2∑2＋x3∑3＋…＋xn∑n）≥ （x2x3x4…xn）+（x1x3x4…xn）+（x1x2x4…xn）+…+（x1x2x3…xn-1） 2≥（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）α-1②

其中，x1∑1+x2∑2+x3∑3+…+xn∑n=

x1（+++…+）+x2（+++…+）+x3（++…+++）+…+xn-1（++…++）+xn（+++…++）=（n-1）（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）．

将此结果代入②式，得

M≥・（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）α-2

一般地，对于形如+++…+≥p的分式不等式，当α≥2，Ai>0，∑i>0，i=1，2，3，…，n，k>0，p>0且∑1+∑2+∑3+…+∑n=k（A1+A2+A3+…+An）时，都可以考虑利用本文提供的柯西均值法去思考它的证明.