三角形里的用角策略

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在三角形里求角度的问题，都离不开三角形内角和定理以及由这个定理推导出来的外角性质. 熟记定理并灵活使用才能顺利解决所给的问题. 下面让我们由课本例题与习题的链接分析来体会在三角形里的用角策略.

【例题展示】苏科版数学教材七年级下册（下文用课本指代）第29页例2

如图1，ABC的角平分线BD，CE相交于点P，∠A=70°，求∠BPC的度数.

【例题精析】

课本例题的思路：

根据三角形的内角和等于180°推导，在ABC中，先推导出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线，求出∠1+∠2的度数，在PBC中，再利用三角形内角和定理，得出∠BPC的度数.

【其他方法】

在求出∠1+∠2的度数后，也就知道了∠3+∠4的度数，再借助外角性质――三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，推导出∠BPC=∠PDC+∠4，∠PDC=∠A+∠3，最终得到∠BPC=∠3+∠4+∠A，也可算出∠BPC的度数.

本题的特点，就是三角形内角和的灵活运用，借助外角计算，思路比较简捷，但观察图形需要具有一定的做题经验，本章节也有习题与此题思路类似，如课本第40页第9题，第42页第20题.

由本题引发的深度思考：使用两种不同的方法可以充分体现三角形内角和与外角性质的应用，并且还可发现三角形两条内角平分线的夹角只与第三个角的大小有关，即∠BPC=90°+∠A.

【习题链接】课本第40页第9题

如图2，在ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°，求∠BDC的度数.

【思路引导】

方法1：同29页例2的课本解法，始终利用三角形内角和.

先求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A =118°，

再求出∠3+∠4=∠ABC+∠ACB-∠1-∠2=63°，

最后求出∠BDC=180°-（∠3+∠4）=117°.

方法2：延长BD交AC于点E，如图3，借助三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和，得∠BDC=∠DEC+∠2，∠DEC=∠A+∠1，

最终得到∠BDC =∠1+∠2+∠A，

也可算出∠BDC的度数.

（同理，延长CD交AB于点F，也可求解，在此不赘述）

课本第42页第20题

（1） 如图4①，在ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数；

（2） 如图4②，A′B′C′的两个外角∠C′B′D，∠B′C′E的平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数；

（3） 上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系，若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？

【思路引导】

（1） 同课本第29页例2，可求∠BOC

=110°.

（2） 因为此问与外角相关，所以借助外角求出∠C′B′D=∠A′+∠A′C′B′，∠B′C′E=∠A′+∠A′B′C′，而∠A′+∠A′C′B′+∠A′B′C′=180°.

再根据角平分线，求出∠1+∠2=（∠C′B′D

+∠B′C′E）=（180°+∠A′）=90°+∠A′.

最后，利用三角形内角和，求出

∠B′O′C′=180°-（∠1+∠2）=90°-∠A′=70°.

另一种解法：如图5，连接A′O′，

利用外角可求：

∠3=∠B′A′O′+∠B′O′A′，

∠4=∠C′A′O′+∠C′O′A′，

即∠3+∠4=∠B′A′C′+∠B′O′C′.

而∠3+∠4=∠1+∠2=180°-∠B′O′C′，

故180°-∠B′O′C′=∠B′A′C′+∠B′O′C′，

从而∠B′O′C′=90°-∠B′A′C′=70°.

（3） 由结果不难看出

∠BOC+∠B′O′C′=180°，

若∠A=∠A′=n°，可推出

∠BOC=90°+∠A=90°+n°，

∠B′O′C′=90°-∠A′=90°-n°，

故∠BOC+∠B′O′C′=180°，

与给定的n值的大小无关.

由此题引发的思考：此题旨在探究三角形两条角平分线夹角的度数，经过推导计算发现夹角只与第三个角的度数相关. 题中先给出的是两个内角的平分线，继而扩展到两个外角的平分线，事实上还可延伸到一个内角和一个外角的平分线. 解决此题需灵活使用三角形内角和与外角性质的知识，同时，记清基本结构图，便于合理添加辅助线，快速抵达问题的心脏. 如图6所示，外角的结构图像一面三角旗，再看看图7的燕尾形，在这里面存在∠BDC=∠BAC+∠B+∠C的结论，可参考图中辅助线求证.

【例题延展】

课本第42页20题的延伸：如图8，ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数.

思路引导：

因为∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，

∠ACD=∠A+∠ABC，∠2=∠1+∠BOC，

所以∠BOC=∠2-∠1=（∠ACD-∠ABC）=∠A.

【变式提升】

1. 如图9，在ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）.

A. 19.2° B. 8° C. 6° D. 3°

2. 如图10，在ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，依次类推，∠ABD4与∠ACD4的平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）.

A. 56° B. 60° C. 68° D. 94°

参考答案：

1. D 2. A

（作者单位：河北省秦皇岛市第十六中学）