合理放缩证明不等式
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不等式证明中，有时需要舍弃一些正项或负项，或者逐项放大，逐项缩小，这种方法简单地称之为放缩法.放缩法是近几年高考及竞赛的一个亮点也是难点，值得引起重视.常用的放缩法有拆项、并项、添项、去掉一些正项或负项，或者通过构造均值不等式、柯西不等式等途径进行放缩.
例1设n为正整数，证明：1+14+19+…+1n2
证明因为当k>1时，有1k2
所以
N=1+14+19+…+1n2
=1+122+132+…+1（n-1）2+1n2
上面的证明是把和式N中的项从第3项开始放大后拆开.从中可以看出，如果把和式N中的项从第2开始拆开，就能得到较粗糙的不等式N
例2设n为正整数，证明：
113+123+133+…+1n3
证明对任何n∈N*，n≥2，有
1n3=
2nn+nn
2nn-1+（n-1）n=
2nn-1（n+n-1）=2（1n-1-1n），
113+123+133+…+1n3
12-13）+…+2（1n-1-1n）
=3-2・1n
又当n=1时，不等式显然成立.
所以对任何正整数n，有113+123+133+…+1n3
本例中用放缩法，将通项放大即1n3
例3设n∈N*，且n≥2，求证：
1n+1（1+13+15+…+12n-1）>1n（12+14+…+12n）.
证明12=12，13>14，15>16，…，12n-1>12n，
又由n2>12+14+…+12n，得12>1n（12+14+…+12n）.
把以上各式相加，得
12+12+13+15+…+12n-1>1n（12+14+…+12n）+（12+14+…+12n），
即1+13+15+…+12n-1>n+1n（12+14+…+12n），
1n+1（1+13+15+…+12n-1）
>1n（12+14+…+12n）.
证明本题时，要看到不等式左右两边括号里的项数相等，且对应位置的项都是大于关系，但1n+1
n2>12+14+…+12n，进一步得到12>1n（12+14+…+12n）.
例4设n为正整数，求证：
n2
证明用括号把题中的和式分开
1+12+（13+14）+（15+16+17+18）+…+（12n-2+1+12n-2+2+…+12n-2）+（
12n-1+1+12n-1+2+…+12n-1>12+12+（14+1421项）
+
（18+18+18+1822项）+…+
（12n-1+12n-1+…+12n-12n-2项）+
（12n+12n+…+12n2n-1-1项）
>12+12+（14+14）+（18+18+18+18）+…+
（12n-1+12n-1+…+12n-12n-2项）
=12+12+…+12=n2.
同法又有
1+（12+13）+（14+15+16+17）+…+（12n-1+12n-1+1+…+12n-1）
（12+1221项）+
（14+14+14+1422项）+…+
（12n-1+12n-1+…+12n-12n-1项）=1+1+…+1=n.
本题在证明左边的不等式时，把项分组后每组各项取一个相同的分母，使得各组可求和并使值缩小，最后去掉一些项，得到要证明的结果.用同样的方法证明右边的不等式就容易多了.
例5求证： 12・34・56…99100
证明要将左边这样的积化简，一个有用的方法是构造一个乘积
x1x2・x2x3・x3x4…xn-1xn.
由12
设A=12・34・56…99100，B=23・45・67…100101，
得A
A2
例6已知数列{an}，an≥0，a1=0，a2n+1+an+1-1=a2n（n∈N），Sn=a1+a2+…+an Tn=11+a1+1（1+a1）（1+a2）+…+1（1+a1）（1+a2）…（1+an）.
求证：当n∈N*时，
（1）a1n-2；（3）Tn
证明（1）用数学归纳法证明.
①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1
②假设当n=k（n∈N*）时ak
因为a2k+1-a2k=（a2k+2+ak+2-1）-（a2k+1+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1）>0，所以ak+1
根据①和②，可知an
（2）由a2k+1+ak+1-1=a2k，k=1，2，…，n-1（n≥2），
得a2n+（a2+a3+…+an）-（n-1）=a21，
因为a1=0所以sn=n-1-a2n.
又因为an
所以sn>n-2.
（3）由a2k+1+ak+1=1+a2k≥2ak， 得11+ak+1≤ak+12ak（k=2，3，…，n-1，n≥3），所以1（1+a3）（1+a4）…（1+an）≤an2n-2a2（n≥3），
于是1（1+a3）（1+a4）…（1+an）=
1（1+a2）（1+a3）…（1+an）≤an2n-2（a22+a2）=an2n-2
又因为 11+a1=1，11+a2
所以当n≥3时， Tn
又因为T1
本题为2008年浙江高考理科压轴题，证明（2）、（3）时都用到了放缩法，其中（3）有较大难度，以上是较为简洁的一种解法，但需要有较强的变形技巧，需要对1（1+a2）（1+a3）…（1+an）进行构造性的放缩，转化为等比数列求和问题.