逐个枚举 解决困惑
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我们面对函数问题、数列问题时，常常会运用枚举法给出解答,或者用枚举法帮助我们探寻解题思路.下面我们就从两方面的数学问题出发与同学们聊聊“逐个枚举,解决困惑”的话题.
一、 通过枚举探寻思路
在处理有些数学问题时，可能没有一点头绪，但运用枚举的思想方法，试着用一些特殊值代入去探究，对变量依次取值，多写几项,往往自然就有了思路.
【问题1】 数列{an}中，若a1=12，an=11－an－1（n≥2, n∈N*）,求a2012的值.
分 析
本题呈现的递推公式并不常见,在没有任何思路的情况下,尝试对n进行赋值,依次写出a2,a3,a4,a5,a6,…,可以观察出规律,得到周期T=3.
解
由a1=12,得a2=2,依次推出a3=－1, a4=12, a5=2, …,可得T=3,所以a2012=a2=2.
【问题2】 设数列{an}的通项公式an=2n－7,试求所有的正整数m,使得amam+1am+2为数列{an}中的项.
分 析
首先把待求的式子进行变换,转化为amam+1am+2=(2m－7)(2m－5)(2m－3).从所得式子的结构特点,自然想到换元,把式子化简,令t=2m－3,则amam+1am+2=t+8t－6.由于条件m是正整数的制约,新的变量t≥－1,且t为非零的奇数,对t依次赋值,发现t=－1时,amam+1am+2=-15,不是数列{an}中的项;t=1时,amam+1am+2=3,是数列{an}中的第5项;t=3, 5, 7时,amam+1am+2不是整数,显然不是数列{an}中的项,而一旦t取大于8的奇数时,amam+1am+2的结果显然也不是整数,可以判断不是数列{an}中的项,由t的取值,可以求得m的值为2.
解
(方法一)设t=2m－3，则amam+1am+2=(2m－7)(2m－5)(2m－3)=t+8t－6,所以t为8的约数.又因为t是奇数,所以t可取的值为±1.当t=1时,m=2,t+8t－6=3,是数列{an}中的项;当t=－1时,m=1,t+8t－6=－15,数列{an}中的最小项是－5,不符合.所以符合条件的正整数m=2.(方法二)因为amam+1am+2=(am+2-4)(am+2-2)am+2=am+2+8am+2－6为数列{an}中的项,故8am+2为整数.又由通项公式,知am+2=2m－3=±1,即m=1,2.经检验,符合题意的正整数只有m=2.
本题是2009年江苏高考卷第17题的第二问,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查同学们是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野.许多同学在这一条题目上耗费太多时间,放弃又不甘心,却又不得其解.若用枚举的思想方法去探寻,很快有了思路，把思路整理，解答自然就有了.
【问题3】 已知等比数列{an}的首项a1=2011,公比q=－12,数列{an}的前n项的积记为Tn,当n为何值时，Tn取得最大值？
分 析
本题如果对n赋值进行比较,运算量较大,由前n项的积的特点,有正值也有负值,容易想到对Tn+1Tn进行变形,从而得到Tn+1Tn=an+1=20112n,通过观察,发现2011211
解
Tn+1Tn=|an+1|=20112n,因为2011211
T9和T12中的较大者.由T12T9>1,知T12>T9,因此当n=12时,Tn最大.
学好数学不是会做几道题的问题,关键还是掌握思维的方法.在思路闭塞的情况下,如何找到思路,如何进行分析,枚举的思想方法是经常会用到的,通过枚举探索解题思路,其实是特殊化的解题策略,对解决数学问题很有启发.
二、 通过枚举以求严谨
【问题4】 已知一个函数的解析式为y=x2,它的值域为{1, 4},这样的函数有多少个?
分析
考虑问题要有一定的逻辑性，旦对各种情形能不重不漏.学会如何枚举，可以使我们的思维更加严谨.在解析式和值域已知的条件下,确定函数的个数,其实就是确定定义域的所有可能的情况,由x2=1,解出x=±1,由x2=4,解出x=±2,由函数的定义可知,定义域中的元素个数可以是2个、3个或4个,分三种情况,写出函数的定义域.
解
这样的函数分别为y=x2, x∈{1,2}; y=x2, x∈{1,－2}; y=x2, x∈{－1,2};
y=x2, x∈{－1, －2}; y=x2, x∈{－1, 1, 2}; y=x2, x∈{－1, 1, －2}; y=x2, x∈{1, －2, 2}; y=x2, x∈{－1, －2, 2}; y=x2, x∈{1, －1, －2, 2}.这样的函数有9个.
【问题5】 设集合A={x|x2+4x=0}， B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0}，若BA,求实数a的取值范围.
分 析
集合A={0, －4}, B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0},若BA,则集合B的所有可能可一一枚举,在各种情况下分别求出对应的实数a的取值范围.
解
集合A={0,－4}, B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0},若BA,则集合B的所有可能结果为:B=; B={－4}; B={0}; B={0,－4}. B=时,方程x2+2(a+1)x+a2－1=0没有实根,则Δ
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是分类要清，要将每一个符合条件的对象都罗列出来．解题中有时要将题目条件包含的全体对象分成若干类,然后逐类讨论,才能得出正确的解答．
枚举是分析问题、解决问题的一种常见方法，是发现问题的一种策略.一般地说，用枚举法解题，其实就是分类讨论的一种特例．解决需要讨论的问题，常采用枚举的方法，要明确分类的对象和标准，正确分类，列举各种情形得出解答．