粒子滤波算法研究
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【摘要】本文介绍了几种粒子滤波算法，然后详细的介绍了各算法存在的主要问题，以及各种改进算法的优势。最后给出了粒子滤波在研究领域中的一些应用。最后通过介绍几种算法对全出了总结。
【关键词】粒子滤波;改进算法;实时粒子滤波;高斯粒子滤波
1.引言
由于现代大多数的机械系统都是非线性、非高斯的，粒子滤波可以解决非线性、非高斯环境下的滤波问题。但是粒子滤波存在着粒子退化的现象。严重的制约了粒子滤波的发展。直到1993年由Gordon等提出的一种新的基于SIS的Bootstrap非线性滤波方法[1]。奠定了粒子滤波算法的基础。但是重采样的算法却导致了“粒子衰竭”的现象[2]。为了解决出现的这种问题，目前已经有了很多改进的算法。粒子滤波用随机样本来近似状态的后验概率密度，适用于任何非线性非高斯环境，解决了粒子数匮乏必须满足高斯分布的制约，并在一定程度上解决了粒子匮乏的问题。因此，近年来粒子滤波的算法在很多领域都得到了成功的应用。
2.基本粒子滤波的算法
粒子滤波是用一系列的带权值空间随机采样的粒子来逼近后验概率密度函数，是一种基于Monte Carlo的贝叶斯估计方法，因此它不受线性化、和高斯分布的制约，既可以解决维纳滤波或扩展卡尔曼滤波因线性化带来的误差，也可以避免无损卡尔曼滤波因非高斯导致的误差。基本的粒子算法的一般步骤为：
（1）初始化：从先验分布抽取N个样本点，i=1，…，N。
（2）权值计算：
归一化后的权值：
（3）重采样：根据归一化权值的大小，用新的采样值代替，去掉低权值的样本，复制高权值的样本。得到N个近似服从分布的样本。
（4）输出结果：
粒子滤波状态估计的性能很大程度上取决于所选的参考分布与状态后验概率分布的接近程度。
3.几种改进的粒子滤波算法
3.1 正则化粒子滤波
重采样引发了粒子衰竭的问题，为了解决上述的问题。Christian Musso等提出了正则化粒子滤波算法（Regularized Particle Filter，RPF）[3]。由于序贯重要性采样会引起粒子退化的问题，重采样的方法虽然可以减小粒子退化的影响，但是重采样方法也面临着新的问题，即粒子匮乏问题，经过若干次迭代之后，所有粒子都趋向于同一个粒子，导致粒子的多样性丧失。这是因为在重采样过程中，粒子是从连续分布中采样，从而缓解了粒子退化的现象。
（1）
式子中Kh（x）是和核密度函数，满足：
（2）
其中：n为x的维数，h称为核带宽，满足。
在特殊化的情况下，所有粒子的权值是相等的。最优核函数的密度为：
（3）
其中，Cn是Rn内单位超球体的体积。n为分布的维数。
正则化粒子滤波的算法是在等权值的粒子下进行的，它需要一个类似的采样系统产生等权值的粒子集。
3.2 自适应粒子滤波
自适应粒子滤波是指算法所用的粒子数不在是固定的，而是随着信号环境的变化而改变。主要针对的是需要在线实时处理的应用。因为多余粒子数的剔除可以降低算法实现的复杂度和运算量。目前主要用于
自适应改变粒子数的算法主要有两类：基于似然函数的APF[4，5]。基于信息数或者距离采样的APF[6]。与标准序列重要性重采样（SIR）算法相比，APF也是以序列重要性采样（SIS）算法为基础，只是选择了不同的重要性密度函数，它在粒子集合上进行采样，其中是k-1时刻粒子的标号。根据贝叶斯准则：
（4）
自适应粒子滤波是在上进行采样，在边缘概率密度函数上获得一个样本集合，令以重要性密度函数满足如下关系式：
（5）
在每个采样点上，粒子权值的更新公式如下：
（6）
与序列重要性采样算法相比，自适应滤波算法的优势在于它在k-1时刻的样本集合上随机抽取了一些点，抽取时以当前的观测数据为条件，这样可以更加接近真实的状态。辅助粒子滤波可以看作是在一些点的估计的基础上，在之前时间点上进行重采样。当噪声比较小的时候，可以很好地用来表示，这时辅助粒子滤波算法就不怎么敏感，权值的大小也比较均匀。
3.3 实时粒子滤波
自适应粒子滤波已经有实时的处理背景，Kwok等人进行了更深入的研究[8]。实时处理的方法通常是减少粒子集中的粒子数或组合的数据。第一种方法可能是粒子数的不足导致的滤波发散。另一种做法是状态改变时因为数据的原因导致的滤波发散。第三种方法是对传感器数据的特殊的假定。Kwok等人设计的实时粒子滤波。实时粒子滤波的优点是在没有丢失任何观测数据，也不需要对观测的数据做出假设。为了提高效率，Kwok将算法相结合，给出了自适应实时的粒子滤波。
3.4 高斯粒子滤波
高斯粒子滤波（Gaussian Particle Filter，GPF）是由Jayesh和Petar提出的，该方法的前提是用高斯分布来近似后验分布，它比其它的高斯滤波方法适用性更强，能处理更多非线性动态系统问题。与一般的粒子滤波相比，GPF只要所用的高斯分布是对的，就不会产生粒子退化问题，不需要对粒子进行重采样，从而使算法的计算量降低，复杂度也降低。
通常一个高斯随机变量x的密度可表示为：
（7）
其中，为x的m维向量均值;为x的协方差矩阵。
GPF假设后验分布：
可以近似成高斯分布，即下式成立：
（8）
其中，。
GPF测量更新是通过一个高斯分布近似上述滤波概率分布，即：
（9）
和一般不能用解析表达式直接求出，在GPF中，用蒙特卡罗方法计算式中和的估计值，通过对重要性密度函数抽取样本并计算其权值，i表示样本数，然后基于这些样本及权值来获得状态的均值和协方差。计算公式为：
（10）
上式中，N表示样本总数。
高斯粒子滤波比其它高斯滤波有更好的估计性能，与一般的粒子滤波相比计算量大大减小，复杂度降低。但是高斯滤波在后验分布不能用高斯分布近似的非线性动态空间模型或者非线性系统非加性高斯噪声模型时，滤波性能不能令人满意。
4.结论
目前粒子滤波算法在国内外已经取得了很好的发展，若能对这个领域在深一步的研究，一定会促进粒子滤波的发展。对非高斯和非线性的系统数据的处理和分析成功的用到各个领域中。
参考文献
[1]Gordon N J，Salmond D J，Smith A F Manvel Approach to Nonlinear-Non-Gaussian Bayesian State Estimation[J].IEE-Procceedings-F，1993，140（2）：107-113.
[2]韩崇昭，朱洪艳，段战胜.多源信息融合[M].北京：清华大学出版社，2006.
[3]MUSS C，OUDJANEN，L EGLAN F.Improving Regularized Particle Filters[M].de FREITAS J F G，GORDON N J.Sequential Monte Carlo Methods in Practice，New York：Springer-Verlag，2001：247-272.
[4]Keller D，Fratkina R.Using learning for approximation in stochastic processes[C].1998：287-295.
[5]Fox D，Burgard W，Dellaert F，et al.Monte Carlo localization：efficient position estimation for mobile robots[C].1999：343-349.
[6]Fox D，KLD-sampling：Adaptive particle filters[C].Vancouver.
作者简介：杨月（1987―），女，安徽蚌埠人，硕士，现就读于中北大学机械工程与自动化学院控制工程专业。