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在学完“三角形的特殊线段”后,关于三角形的中线,我积累了一个重要的结论:
结论1:三角形的一条中线等分此三角形的面积.
接着在练习课本第41页第11题时,我又有了好几个“思考”. 请先看第11题:
如图1,ABC的中线AD,BE相交于点F,ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系?为什么?
【分析】图中有两条中线,根据“结论1”,则有四个三角形的面积相等,即SABD= SACD=SABE=SBCE=SABC. 那么选用哪对面积相等的三角形来解决问题呢?
思考一:选ABD与BCE来探究,因为ABF在ABD中,四边形CEFD在BCE中,而且都含有BDF,在计算中可以抵消.
解:AD,BE是ABC的中线,
SABD=SBCE=SABC.
又SABF=SABD-SBDF,S四边形CEFD=SBCE-
SBDF,
SABF=S四边形CEFD.
由此,得到:
结论2:若AD、BE分别是ABC的中线,那么SABF=S四边形CEFD.
思考二:继续探究,由于SABD=SACD=
SABE=SBCE,那么其中每两个三角形的面积相等的组合方式就有6种,如果选用SABD=
SACD,再根据结论二,很容易发现SBDF=
SAEF. 有点意思!我又在想:如果不用结论二可证明“SBDF=SAEF”吗?
若选SABD=SABE,即SABF+SBDF=SABF+
SAEF. SBDF=SAEF.
哦,我明白了,在本例中,又得到:
结论3:若AD、BE分别是ABC的中线,那么,SBDF=SAEF.
思考三:如果连接CF,如图2.
根据结论1,有SCDF=SBDF,SCEF=SAEF.
根据结论3,有SBDF=SAEF,
S四边形CEFD=2SBDF=2SAEF.
由此可得:SABF=S四边形CEFD=2SBDF=
2SAEF.
思考四:既然SABF
=2SBDF,那么,我反过来再探究,过点B作BM垂直直线AD的延长线于点M. 如图3.
则有SABF=AF・BM,SBDF=DF・BM,
又SABF=2SBDF.
AF・BM=DF・BM,
AF=2DF.
哇,又一个新结论出来了. 爽!就叫它结论4吧.
结论4:若ABC的中线AD、BE交于点F,那么AF=2DF.
探究到此,我已心满意足了,一看时间,哇,夜深了,休息去,明天还要上学呢!哈哈哈……
徐老师点评:徐涵是一个十分爱动脑筋的好学生,他探究思维灵活,追问、迁移意识强,从本文即可略见一斑. 从他的这篇探究性文章看,首先,他从中线出发,发现“中线等分三角形面积”这个结论. 然后以此展开广泛而有见地的探究,得到一系列由中线推出的有效结论,为中线中涉及有关面积问题的解答提供了有力证据,很值得借鉴和推广. 希望该生继续保持探究的能力和追问意识,创作出更新、更好的作品.
(指导老师:徐金星)