换个角度解难题

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变换技巧一：“通性通法求解”变成“特性特法求解”

例1 设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1），若函数g（x）有3个不同的零点，则函数f（x）的零点的个数一定是

A.0 B.1 C.2 D.3

难度系数 0.48

解答过程 若函数g（x）有3个不同的零点，则a≠0，b2—4c>0，c（—■）2+b（—■）+1≠0，整理得a≠0，b2—4c>0，c+b（—a）+（—a）2≠0，所以f（x）=（x+a）（x2+bx+c）有3个不同的零点.选D.

变法1：赋值求解

解 令g（x）=（x+1）（2x+1）（3x+1）=（x+1）（6x2+5x+1），即a=1，b=5，c=6，所以f（x）=（x+1）（x2+5x+6）=（x+1）（x+2）（x+3）.所以，f（x）有3个不同的零点.选D.

变法2：挖掘隐含条件求解

解 当x≠0时，函数f（x），g（x）之间的关系为g（x）=x3f（■）.若函数g（x）有3个不同的零点，即g（x）=0有3个不同的根，设3个根分别为 x1，x2，x3，且 x1，x2，x3都不为零，则有f（■）=0（i=1，2，3），即f（x）存在3个不同的零点■，■，■.因为f（x）是三次函数，零点不多于3个，所以函数f（x）的零点的个数一定是3.选D.

小结 因为选择题或填空题不需要写出解答过程，所以此种变换技巧一般只适用于这两种题型，在解答题中一般不适用.

变换技巧二：“几何方法求解”变成“解析法求解”

例2 在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则■·■+■2的最小值是 .

难度系数 0.34

解答过程 如右图所示，作PDBC于点D，设PD=h，BC=a.由题意可知SPBC=■ah，即ah=2，■·■+■2=（■+■）·（■+■）+a2=■2+■·■+a2.设DC=x，则■2+■·■+a2=h2+a2—x（a—x）=■+a2+x（x—a）=（x—■）2+■+■≥2■=2■，当且仅当■=■，即a=■，x=■时取等号.所以，■·■+■2的最小值是2■.

变法：建立坐标系求解

解 以BC作x轴，BC的中垂线作y轴，建立坐标系，设B（a，0），C（a，0），P（t，h）.因为SABC =2，所以ah=1，■·■+■2=t2—a2+h2+4a2=t2+h2+3a2≥h2+3a2=■+3a2≥2■=2■，当且仅当t=0，a=■时取等号. 所以，■·■+■2的最小值是2■.

小结 此变换技巧一般适用于伴有几何图形的问题.其实建立坐标系的过程就是一个揭示隐含条件的过程，这样可以减少计算量和降低题目的难度.需要注意的是，建立的坐标系一定要恰当，否则会事与愿违.

变换技巧三：“代数推理求解”变成“数形结合求解”

例3 设函数 f（x）=ex—e—x，若对所有x≥0都有 f（x）≥ax，求a的取值范围.

难度系数 0.36

解答过程 令g（x）= f（x）—ax，对所有x≥0都有 f（x）≥ax？圳对所有x≥0都有g（x）≥0成立.由上可知g′（x）= f ′（x）—a=ex+e—x—a.

①若a≤2，当x≥0时，g′（x）=ex+e—x—a≥2—a≥0，所以g（x）在[0，+∞）上为增函数.所以，当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥ax.

②若a>2，解方程g′（x）=0，即■=0，于是有■=0.其中■=■，■=■.所以，x1=ln ■>0，x2=ln ■=ln ■

综上可知，满足条件的a的取值范围是（—∞，2].

变法：作函数图像求解

解 在同一坐标系内分别作出函数y=ex—e—x（在[0，+∞）上单调递增，且y（0）=0），y=ax的图像，如右图所示.因为函数y=ex—e—x，y=ax的图像都过原点，过原点的曲线y=ex—e—x的切线的方程是y=2x，所以当且仅当a≤2时，曲线y=ex—e—x（x≥0）在射线y=ax（x≥0）的上方或重合，即对所有x≥0都有 f（x）≥ax成立.所以，满足条件的a的取值范围是（—∞，2].

小结 此变换技巧适用于含参数的恒成立不等式或有解的不等式.在应用相应的变换技巧时，同学们要注意将不等式作一些等价变形，使得不等式两边的图像在同一坐标系中容易作出.

变换技巧四：“建立目标函数求解”变成“建立基本不等式求解”

例4 在锐角ABC中，sin A=■，边BC=■，求ABC的周长的最大值.

难度系数 0.76

解答过程 sin A=■，且A∈（0，■）， A=■.又BC=■，由正弦定理■=■=■，得AC=2sin B，AB=2sin C.ABC的周长为■+2sin B+2sin C=■+2sin B+2sin（■—B）=■+2·sin B+2（■cos B+■sin B）=■+2■sin（B+■）.

0< B

变法：使用余弦定理求解

解 由余弦定理可知a2=b2+c2—2bccos A，即3=（b+c）2—3bc，于是有3bc=（b+c）2—3≤3·■.（b+c）2≤12，b+c≤2■，即a+b+c≤a+2■.ABC的周长的最大值为3■.