中考图形折叠题解法揭密

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比较近年来的操作类数学中考题，可以发现图形的折叠问题有升温的趋势，这是一个值得注意的现象.为了帮助同学们从根本上掌握这类题的解题方法，特作此文.

一、三角形的折叠

例1（2007年湘潭市）如图1，在ABC中，AB＝AC，E，F分别为AB，AC上的点（E，F不与A重合），且EF∥BC.将AEF沿着直线EF向下翻折，得到A′EF，再展开.

（1）请证明四边形AEA′F为菱形；

（2）当等腰ABC满足什么条件时，按上述方法操作，

四边形AEA′F将变成正方形？（只写结果，不作证明）

分析：（1）要证明四边形AEA′F为菱形，若能通过已知条件先证明∠A＝∠A′，∠AEA′＝∠AFA′，即四边形AEA′F为平行四边形，再证明AE＝AF即可.（2）由（1）四边形AEA′F为菱形，此时只要证有一个角是直角即可证其为正方形.

解：（1）证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，

又因为EF∥BC，所以∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，所以∠AEF＝∠AFE，

又由折叠的原理可知∠AEF＝∠A′EF，∠AFE＝∠A′FE，所以

∠AEA′＝∠AFA′．因为∠A＝∠A′，所以四边形AEA′F为平行四边形．又因为∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，所以四边形AEA′F为菱形.

（2）当∠A＝90时，菱形AEA′F即为正方形.

说明：本题虽然是有关三角形的折叠问题，但研究的却是特殊平行四边形的判定问题，在证明时要善于将问题转化.

二、平行四边形的折叠

例2（2007年青岛市）将平行四边形纸片ABCD按如图2方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF.

（1）求证：ABE≌AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论.

分析：由图形折叠的原理可以得到有关的角和线段相等，再由平行四边形的性质即可证明ABE≌AD′F；至于四边形AECF是什么特殊四边形，可以由（1）的结论结合已知条件和图形折叠的原理，先判断四边形AECF是平行四边形，再由AF＝AE，即可知道四边形AECF是菱形.

证明：（1）由折叠可知∠D＝∠D′，CD＝AD′，

∠BCD＝∠D′AE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B＝∠D，AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，所以∠B＝∠D′，AB＝AD′，∠D′AE＝∠BAD，即∠1+∠2＝∠2+∠3，所以∠1＝∠3.

所以ABE≌AD′F.

（2）四边形AECF是菱形.由折叠可知AE＝EC，∠4＝∠5.

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.

所以∠5＝∠6.所以∠4＝∠6.所以AF＝AE.

因为AE＝EC，所以AF＝EC.

又因为AF∥EC，

所以四边形AECF是平行四边形.而AF＝AE，所以四边形AECF是菱形.

说明：判断一个四边形是什么样的图形，首先要依据图形结合已知条件进行猜想，再进行验证.

三、矩形的折叠

例3（2007年济宁市）如图3，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.

（1）求证：PBE∽QAB；

（2）你认为PBE和BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；

（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？

分析：（1）要证明PBE∽QAB，依题意只要能找到两个角对应相等，而由已知条件可证明∠ABQ＝∠PEB，∠BPE＝∠AQB，于是问题即证.（2）由（1）结合BQ＝PB和∠ABE＝∠BPE＝90，可以证明PBE和BAE相似.（3）点A是否能叠在直线EC上，只要说明EC与折叠后的AE是否重合.

解：（1）证明：因为∠PBE+∠ABQ＝18000！BE+∠PEB＝90，所以∠ABQ＝∠PEB．

又因为∠BPE＝∠AQB＝90，所以PBE∽QAB；

（2）PBE和BAE相似.

因为PBE∽QAB ，所以 ＝ ,

而BQ＝PB，所以＝,即＝ ．

又因为∠ABE＝∠BPE＝90，所以PBE∽BAE．

（3）点A能叠在直线EC上.由（2）得∠AEB＝∠CEB，所以EC和折叠后的AE能重合.

说明：由于矩形的特殊性，有关的折叠问题在中考出现的频率要比其它几何图形大得多，复习时不妨有所侧重.

四、正方形的折叠

例4（2007年淄博市）有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF（如图4①）；再沿过点D的折痕将角A翻折，使得点A落在EF的H上（如图②），折痕交AE于点G，则EG的长度为（）

A.4－6B.2－3

C.8－4 D.4－2

分析：要求EG的长度，考虑到在RtGEH中，EG+GH＝1，EH＝2－HF，而HF在RtDFH中，由勾股定理可依次求得HF和EG的长度．

解：由折叠的原理，DF＝1，DH＝DA＝2，所以在RtDFH中，由勾股定理，得HF＝＝＝，所以EH＝2－,而GH＝1－EG，所以在RtGEH中，由勾股定理，得EG2+EH2＝GH2，

即EG2+（2－）2＝（1－EG）2，解得EG＝2－3.故应选B.

说明：正方形也是折叠的常见图形，求解时要从正方形的特性出发，及时发现题目中的隐含条件，灵活运用勾股定理等知识.

五、梯形的折叠

例5（2007年云南双柏县）如图5，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C＇处，折痕DE交BC于点E，连结C′E.

求证：四边形CDC′E是菱形.

分析：要证明四边形CDC′E是菱形，只要能证明四条边相等即可.

证明：依题意，根据折叠的原理，得CDE≌C′DE.所以CD＝C′D，∠CDE＝∠C′DE，CE＝C′E．

因为AD∥BC，所以∠C′DE＝∠CED．

所以∠CDE＝∠CED，即CD＝CE．

所以CD＝C′D＝C′E＝CE，所以四边形CDC′E为菱形.

说明：梯形的折叠问题要以梯形的两底平行和折叠的原理为求解的切入点，再依据问题的结论选择最佳判断方法.

六、圆的折叠

例6（2007年连云港市）如图6，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）

C.2cmD.2cm

分析：要求折痕AB的长，即求O中弦AB的长，想到圆中常见辅助线，于是过点O作OCAB于点C，则OC等于半径的一半，AC等于AB的一半.连接OA，即在RtACO中由勾股定理即可求得AC，从而使问题获解.

解：过点O作OCAB于点C，连接OA，则AC＝BC，OC＝OA＝1，

在RtACO中，由勾股定理，得AC2+OC2＝OA2，所以AC2+12＝22，即AC＝.

所以AB＝2.

故应选C.

说明：求解本题时一定要抓住圆弧恰好经过圆心O这一条件，再利用垂径定理和勾股定理求解.

综上所述，图形的折叠问题虽然变化多端，但万变不离其宗，只要我们抓住了解决图形折叠问题的关键，即折叠后重合的两个图形关于折痕所在直线对称，这样的两个图形全等，有对应角，对应边，充分运用这些条件，就能使问题迎刃而解．

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”