磁聚焦与磁发散的应用

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一束平行粒子经有界磁场偏转后会聚于一点，此现象为磁聚焦；一束粒子从一点向不同方向经有界磁场偏转后平行射出，此现象为磁发散。近几年的高考与各地联考题中频繁出现此类题型，现从模型、母题、子题等方面来研究此类问题，以期对同学们的学习有所帮助。

模型：如图1所示。当圆形磁场区域半径R与轨迹圆半径，r相等时，从磁场边界上任一点向各个方向射人圆形磁场的粒子全部平行射m，方向与过该点的磁场圆直径垂直（磁发散）；反之，平行粒子束射入圆形磁场必会聚在磁场边界上某点，且过该点的磁场圆直径与粒子的入射速度方向垂直（磁聚焦）。

证明：如图2所示，任意取一带电粒子以速率v从A点射入时，粒子在磁场中的运动轨迹圆半径为R，有界圆形磁场的半径也为R，带电粒子从区域边界C点射出，其中O为有界圆形磁场的圆心，B为轨迹圆的圆心。图中AO、OC、CB、BA的长度均为R，故AOCB为菱形。由几何关系可知CB∥AO，即从C点飞出的粒子速度方向与OA垂直，因此粒子飞出圆形有界磁场时速度方向均与OA垂直。反之也成立。

母题：如图3所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>O）和初速度v的带电微粒。已知这束带电微粒分布在O

（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有界磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向。

（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。

（3）若这束带电微粒的初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。

解析：（1）带电微粒平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和静电力平衡。设电场强度大小为E，由 得 ，方向沿y轴正方向。带电微粒进入磁场后，将做圆周运动，且r =R，如图4所示。设磁感应强度大小为B，由 得 ，方向垂直于纸面向外。

（2）这束带电微粒都通过坐标原点。从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于P点正下方的Q点，如图5所示。这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图5所示的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点，故所有轨迹圆都会通过坐标原点O。

（3）这束带电微粒的初速度变为2v时，在磁场中经过一段半径为r的圆弧运动后，将在y轴的右方（x>O）的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图6所示。靠近M点发射出来的带电微粒在射出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处，靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点处穿出磁场。所以这束带电微粒与x轴相交的区域范围是r>0。

子题1：如图7所示，在半径R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，网弧顶点P有一速率为v带正电的粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计。

（1）若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间。

（2）若粒子对准圆心射入，且速率为 ，求它打到感光板上时速度的水平分量。

（3）若粒子以速率u从P点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上。

解析：（1）设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，由牛顿第二定律得 ，解得 ，则它在磁场中运动的时间

（2）当粒子的速率为 时，它在磁场中运动的轨迹半径为，√3 R，如图8所示，可知∠PO10=∠ O1A=30°，所以带电粒子离开磁场时的偏转角为60。，带电粒子打到感光板上的速度的水平分量。

（3）当带电粒子以速率v射人时，粒子在磁场中的运动轨迹半径为R，如图9所示，带电粒子从区域边界S射出，因为PO1=O2S=PO=SO =R，所以四边形POSO2为菱形。由几何关系可知PO∥O2S，在S点的速度方向与O2S垂直，因此，带电粒子射出磁场时沿水平方向，离开磁场后垂直打在感光板上，与入射的方向无关。

子题2：如图10所示，质量为m，电荷量为e的电子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为vo现在某一区域内加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上，求：

（1）荧光屏上光斑的长度；

（2）所加磁场区域的最小面积。

解析：（1）设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得 ，解得 。如图11所示，初速度沿x轴正方向的电子沿弧OA运动到荧光屏MN上的P点，初速度沿y轴正方向的电子沿弧OC，运动到荧光屏MN上的Q点，由几何知识可得荧光屏上光斑的长度PQ=。

（2）取与x轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，设其射出磁场的点为E（x，y），因其射出后能垂直打到荧光屏MN上，故有，即。又因为电子沿z轴正方向射人时，射出的边界点为A点，沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的磁场的边界是以（O，R）为圆心、R为半径的圆的一部分，如图11中实线圆弧所围区域。因此所加磁场区域的最小面积S

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如图12甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y-轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xOy平面垂直的匀强磁场。在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v0的带电微粒。已知重力加速度大小为g。

（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动。求电场强度和磁感应强度的大小和方向。

（2）调节坐标原点（）处的带电微粒发射装置，使其在xOy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第一象限，如图12乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，求出符合条件的磁场区域的最小面积。

参考答案：（1）电场强度，方向沿.y轴正方向；磁感应强度 ，方向垂直于纸面向外。