明白就是硬道理
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一、 基础梳理
1. 可以的语句叫做命题.（填判断真假）
2. 四种命题：
原命题：若p则q；逆命题：；(填若q则p) 否命题：；(填若
p则
q)逆否命题：；（填若
q则
p）为等价命题.（填互为逆否命题）
3. 充分条件与必要条件
(1) 若pq，则p是q的，（填充分条件）q是p.（填必要条件）
(2) 若pq，qp，则p是q的.（填充要条件）
4. “或”“且”“非”叫做逻辑联结词.
(1) 或：两个简单命题成立.（填至少一个）
(2) 且：两个简单命题成立.（填都）
(3) 非：对一个命题的.（填否定）
5. 含有一个量词的命题
(1) 全称命题：x∈M，p(x).它的否定是.（填x∈M，
p(x)）
(2) 存在性命题:x∈M，p(x).它的否定是.（填x∈M，
p(x)）
以试题的形式梳理知识，既有利于使知识的呈现方式更清晰，也有利于更快的了解知识的要点，更重要的是有利于激发学习兴趣.
二、 考点突破
【例1】 写出下列命题的否定，并判断真假.
(1) p：x∈R，都有|x|＝x；
(2) p：x∈R，x3＞x2；
(3) p：至少有一个二次函数没有零点；
(4) p：α∈R，使得sinα＋cosα≠1.
分析 首先判断命题的形式，然后写出
p，再判断真假.
解 (1)
p：x∈R，都有|x|≠x，真命题.
(2)
p：x∈R，x3≤x2，真命题.
(3)
p：所有二次函数都有零点，假命题.
(4)
p：α∈R，使得sinα+cosα=1，真命题.
点评 (1) 全称命题与存在性命题的否定，除了关健词要改变，结论也要否定，不能只改写一处.
(2) 命题真假的判定，要注意命题等价性的利用，等价转化要准确.
【例2】 若命题“x∈R，使得x2＋ax＋1＜0”是真命题，求实数a的取值范围.
分析 有关一元二次不等式问题，可借助于二次函数的图象进行转化.
解 由题意知Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.
变式 已知命题p：x∈R，使ax2＋ax＋1＜0.当a∈A时，
p为真，求集合A.
解
p为真，即“x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真.
若a＝0，则1≥0，即a＝0时
p为真；
若a≠0，则
p为真a>0Δ=a2－4a≤0
0＜a≤4.
综上，所求集合A＝{a|0≤a≤4}.
【例3】 从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”和“既不充分也不必要”中，选择适当的一种填空：
(1) “a＝12”是“直线(a＋2)x＋3ay＋1＝0和直线(a－2)x＋(a＋2)y3＝0相互垂直” 的；
(2) “x≠2或y≠3”是“x＋y≠5”的；
(3) “x＞－1”是“x2＞1”的；
(4) 在ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB” 的.
分析 判断充要条件: 首先要分清谁是条件，谁是结论；然后再弄清是由条件推结论，还是由结论推条件，最后作出判定.
解 (1) 当a＝12时，两直线斜率的乘积为－1，从而可得两直线垂直；当a＝－2时，一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但两直线仍垂直.综上“a＝12”是“直线(a＋2)x＋3ay＋1＝0和直线(a－2)x＋(a＋2)y3＝0相互垂直” 的充分不必要条件.
点评 两条直线垂直的充要条件是：①k1,k2都存在时，k1•k2＝－1，②k1,k2中有一个不存在另一个为0.对于②易忽略.
(2) “x≠2或y≠3”的否定是“x＝2且y＝3”，“x＋y≠5”的否定是“x＋y＝5”，因为由“x＝2且y＝3”能推出“x＋y＝5”，但“x＋y＝5”不能推出“x＝2且y＝3”，所以“x≠2或y≠3”是“x＋y≠5”的必要不充分条件.
点评 遇到命题的条件或结论含有否定时，一般用它的逆否命题来判断其充分必要性，即利用“pq”“
q
p”.
(3) “x2＞1”的解是“x＜－1或x＞1”，所以由“x＞－1”不能推出“x2＞1”，“x2＞1”也不能推出“x＞－1”，所以“x＞－1”是“x2＞1”的既不充分也不必要条件.
点评 遇到有关不等式的命题判断其充分必要性，一般利用它们解集的子集关系来判断其充分、必要性. 利用集合间（p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}）的包含关系进行判定的方法是：若AB，则p是q的充分条件；若BA，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件.
(4) 解法一：在ΔABC中，因为A＞Ba＞b2RsinA＞2RsinBsinA＞sinB，所以“A＞B”是“sinA＞sinB” 的充要条件.
解法二：在ΔABC中，当0
当sinA＞sinB时，假设A≤B，则由上述证明知sinA≥sinB，矛盾，故A＞B.
综上“A＞B”是“sinA＞sinB” 的充要条件.
点评 遇到有关三角形内三角函数的命题判断其充分必要性，一般利用正弦定理、余弦定理及内角和定理进行转化.
牛刀小试
1. 下列命题中，为假命题的序号是.
(1) x∈R，x22x3＝0；
(2) 至少有一个x∈Z，x能被2和3整除；
(3) 存在两个相交平面垂直于同一直线；
(4) x∈{x|x是无理数}，x2是有理数.
2. 已知条件p：x＜1或x＞4；条件q：x＜－3或x＞4，则
p是
q的条件. (填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)
3. 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则p是q的条件. (填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)
4. 若命题“x∈R，使x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是.
【参考答案】
1. (3) 2. 充分不必要 3. 充分不必要
4. ［－1,3］