谈“有指导的再创造”对教学的指导

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【摘要】弗赖登塔尔的著名的"再创造"学习方法理论已经被广为传授，然而在教学中，如何结合此理论需要作大量的尝试和探讨.本文主要结合笔者在教育教学实践中所作的几点尝试，从如何整体把握教材、突出数学思想的角度，浅谈"有指导的再创造"理论对教学的指导。

【关键词】再创造教学 教材 数学思想

【中图分类号】G420【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）3-0017-02

1."有指导的再创造"理论

弗赖登塔尔是荷兰著名数学家、国际数学教育权威，他是一位学问精深而广博的学者，对数学科学研究有丰富的经验和杰出的成就，对数学教育有广泛的实践经验和深入的理论研究。他认为：学习数学唯一正确的方法是实行"再创造"，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。他认为，这是一种最自然、最有效的学习方法。

"再创造"是弗赖登塔尔关于数学教学方法的基本思想，它是学习的基本方法，也是判断教学法好坏的基本准则。无论是学习数学的抽象，或数学的公理体系，或数学的形式体系，或数学的程式，都毫无例外地应该使用"再创造"的方法，而不应该生吞活剥地进行灌输。用弗赖登塔尔本人的话来说，与其让学生学习公理化体系，不如说让学生学习"公理化"；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习"形式化"。一句话，与其说让学生学习数学，不如说让学生学习"数学化"。这些话体现了弗氏思想的一个重要方面，就是在知识教学和方法学习两者中，更应重视方法的学习。教师通过知识教学这一手段，达到让学生学会获取知识的方法这一目的。

2. 整体把握教材，突出数学思想

弗氏说的"再创造"，是客观意义上的再创造，而非主观意义上的再创造。课堂教学不至于宽容到完全放手让学生自己完成"再创造"，教学毕竟是双边活动，学生是在教师的指导下进行再创造，因此教师要能够做到整体把握教材，突出数学思想。

2.1 宏观把握，体现整体性

苏科版教材八年级下册第10章"图形的相似"，看起来前两节只是作为基础知识在介绍，事实上编者在本章内容的设置上是特别用心的。10.1节图上距离与实际距离,介绍了线段的比、成比例线段以及比例中项等概念。10.2节黄金分割，出现了一个特殊的比值――黄金比.事实上，一条线段上的一个黄金分割点，将其分成2段，这两段的比值同时等于较长线段与整条线段的比值，于是就有了成比例线段和比例中项.因此，这两节内容其实是一般与特殊的关系。在10.2中，学生认识了黄金矩形和黄金三角形，并且可以无限分割出无数个相似的黄金矩形和黄金三角形。在10.3节中介绍了一般的相似图形，因此，这两节内容又是特殊与一般的关系.所以，10.2节黄金分割，不仅仅是重要的数学文化知识的学习，它更起着逻辑上的承上启下的作用。10.3至10.5节分别介绍了相似三角形的概念、判定条件和性质，相似多边形的概念和性质.相似三角形是最简单的相似多边形，所以这里又有特殊和一般的关系。10.6节位似图形,位似就是具有特殊位置关系的相似，所以又一次从一般到特殊.教学中如果我们教师能够洞悉本章从一般到特殊和从特殊到一般的思想方法这条贯穿全章的暗线，新授课时从内容之间的逻辑关系角度引入，相信学生在本章结束后搭建知识框架，优化知识结构时就不至于只能按线性结构来一一阐述了，学生也才能够更好地实现"再创造"。

苏科版教材八年级上册我们学习了三角形的全等，探究到了三角形全等的条件，除了得到一般的三角形的四个全等的条件之外，我们还探究了直角三角形的判定条件HL定理.我们还可以继续探究等腰三角形全等的条件，但要注意此结论并未作为定理给出。这体现了从一般到特殊的数学思想.另外，三角形是特殊的多边形，有了三角形全等的条件之后，我们可以进一步探寻四边形全等的条件,这又体现了转化和分类的数学思想.在八年级下册，基于全等的基础，我们学习了三角形的相似.其实，研究相似形是研究全等形的继续和深化,这又是一次从特殊到一般的学习体验.由全等进入相似，即由保距变换进入到保角变换，使认识扩大到一个新的领域，表现为线段关系从相等发展到成比例。有了前面的经验，在探究完一般的三角形相似的条件后，我们自然要考虑，等腰三角形和直角三角形的相似的条件又会是什么呢？如在探寻直角三角形相似的条件时，可以直接类比HL定理，直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似,再展开论证。紧随其后，我们可以再探寻四边形相似的条件，既可以类比三角形相似的条件，又可以直接类比四边形全等的条件,在方法上实现了互通。相信经历了这一系列完整的探究活动之后，学生对三角形的全等、相似等会有一个完整且清晰的认识，也更有利于知识的迁移，实现更多的"再创造"。

教师所传授的不等于学生所接收到的，前者必须经过学生在自己的数学现实基础上，在教师的指导下进行再创造，从而发展自己的数学现实。真正有效的教学不取决于教师教了多少，而是看学生生成了多少，有指导的再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡，学生可以创造出一些对他来说是新的，而对指导者却是熟知的东西。

2.2 注重反思，促进数学化

在现实的数学化过程中, 反思是一个关键环节。弗赖登塔尔指出：反思是一种重要的数学活动, 它是数学活动的核心和动力。数学的发现来自直觉，而分析直觉理解的原因是通向证明的道路，必须教育学生对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实, 以便使他们学会反思，能有意识地了解自身行为后面潜藏着的实质，只有这样，教育才能真正培养学生的数学能力。

函数是中学里最重要的概念之一，也是学生学习的难点。中学代数课程到了函数阶段，是前面所学的多项式、变量、坐标系和方程等内容进行了有机的整合，函数知识是发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推力能力的良好素材。

苏科版教材八年级上册第6章 "一次函数"，全章共6节。6.1节介绍了函数的概念，6.2节和6.3节其实是一个整体, 分别从不同的角度来研究一次函数.通过6.2节的学习，学生理解了一次函数和正比例函数的意义，能根据已知条件用待定系数法确定一次函数表达式，这是从代数的角度；在6.3节中，学生画一次函数的图像，并能根据图像和表达式探索并理解了一次函数的性质，这是从几何角度. 学生要理解函数，需要实现从静到动的转变，逐渐将静态的表达式看成动态的过程，这已经是认知上的一次飞跃了。而在6.3节中，图像又将表达式和数据转化为几何形式，学生要想"看见"相应的关系和变化情况，又得实现从数到形的转变，又是一次强烈的认知冲突。图像对于理解变量之间的关系有着十分重要的意义，所以图像语言的教学是函数教学部分的重点加难点。在教学中，教师要教会学生运用类比思想比较函数y=kx+b（k≠0）和y=kx（k≠0）在形式上和图像上的异同点，体现了数形结合的思想。

弗氏认为：任何数学都是数学化的结果，不存在没有数学化的数学，不存在没有公理化的公理，也不存在没有形式化的形式。在教学中，教师不仅要自己具有反思的意识，更要有培养学生随时反思的习惯：解题反思和对所学知识的反思（即回顾小结）。如学完一章后，教师可指导学生对本章的内容进行梳理，可以促进知识的公理化、系统化；解题后或学习例题后，反思最优策略及小结解题步骤，可以促进适度形式化和题型的模式化。下图就是在学完本章后，学生在教师的指导下总结出的本章的知识结构：

在全章学完之后，教师可抛出一个问题给学生反思：

1.（1）写出正方形的周长y与边长x之间的函数表达式。

（2）写出正方形的面积y与边长x之间的函数表达式。

（3）写出面积为1的矩形的宽y与长x之间的函数表达式。

（4）写出面积为1的矩形的周长y与长x 之间的函数表达式。

2.试着画出上述各题中的函数图像，如何判断你画的函数图像是否准确？

3.去掉自变量的取值范围，图像会变成什么样？

4.观察图像，你发现了哪些特点（位置、增减性、对称性、与坐标轴的交点等）？

5.你能否将上述函数分类？你的依据是什么？

通过对这个问题的探究，学生就能对初中阶段所要学习的三种函数有整体的认识，并学会研究函数问题的一般方法，为后续的学习打下基础。

在数学教学过程中,注意把握数学化与问题解决、建构主义学习观的内在一致性，这不仅可以养成学生的数学化意识和提高学生的解决问题的能力，还可以激发学生学习的主动性和积极性. 教师要灵活地选择自我反思和引导学生反思的时机，该由学生展示思维时不要越俎代庖，真正实现学生的主体地位，教师的主导地位。

参考文献：

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1999

[2] 中华人民共和国教育部制订.《全日制义务教育数学课程标准》[M].北京师范大学出版社，2003