三角函数教学的基本问题

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三角函数是一类有别于一般函数的初等超越函数，它反映的是“角”与“边（的比）”的关系.三角函数作为一种函数载体，变量的认识是最为关键的基本问题.

下面结合自己的教学实践谈点体会.

一、变量的统一性

在数学中，三角函数是“角”的函数.它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中都有很重要的作用.三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价地定义为单位圆上的各种线段的长度.更现代的定义是把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值.三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数.

1.“角”扩展

（1）初中是如何定义角的

从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形，是静态的定义，实实在在能看到“角”的图形.这种定义“角”的概念，优点是形象、直观，容易感受理解，但它的弊端在于“狭隘”.

（2）角的概念的推广

定义将一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α.其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点.这是动态的定义，只能看到射线旋转运动形成的跨度区域，即动态的“角”.

（3）正角、负角、零角概念

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.

2.以“角”为自变量

（1）弧度制：另一种度量角的单位制.

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角.

如图，∠AOB=1rad，∠AOC=2rad.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.角的弧度数的绝对值|α|=lr（l为弧长，r为半径）.

（2）三角函数：一种初等超越函数

既然是函数，就应当符合函数的概念.现行高中教材是这样定义的：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数（function）.记作：y=f（x），x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x∈A}叫做函数的值域（range）.

三角函数是在“非空的数集”下的特殊映射，它体现的是“角”与“边（的比）”的关系，因此变量是“角”与“边（的比）”.而变量又是否统一呢？“角” 虽然是以“数”来刻画的一种量，但它为六十进制的三级单位表现；“边（的比）”是十进制的实数，两者不一致，这就应当考虑把角度化为弧度，使变量统一.

二、定义的方式

三角函数的定义，其根本仍然是基于直角三角形来建立角与边的关系的.因为这个定义是直接的、单纯的，核心体现的方式；而一般状态下，比如一般三角形中的正弦关系、余弦关系等仅仅是在这个定义下的衍生.从历史角度看，锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的.它们研究的对象不同，表现的性质也不同.虽然我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角的三角函数在锐角范围内的“限定”，但是任意角的三角函数与锐角三角函数难道不是同宗一族吗？如果说不是一回事，就意味着sin 2π3+2kπ ≠sinπ3，但这是说不过去的.

无论以直角三角形为载体、还是以象限角为载体、还是以单位圆为载体，都没有绕开三角函数以“角”与“边（的比）”为核心的定义本质.这个本质本身已经体现出函数的本质属性，所以以谁为载体并不意味谁更准确或谁更优越，只能说以谁为载体呈现的关系更为有效.“三角学所讨论的是三角形的各种各样的几何量之间的函数关系”，锐角三角函数是解三角形的工具；而任意角的三角函数却不限于此，它是一个周期函数，是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”.

三、象限角的坐标定义

设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， P（x，y）是角的终边上一点， r是P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为：正弦：sinα=yr，余弦：cosα=xr，正切：tanα=yx，余切：cotα=xy，正割：secα=rx，余割：cscα=ry，无论角的终边落在哪个象限，都能以P（x，y）来建立三角函数.

象限角的坐标定义虽然不能特别直接反映出三角函数由定义衍生出来的关系，但学生理解较为直接、易懂，因为此刻学生具有的数学思维是再现的平面图形、直角坐标系，而不是全面隐含的相关性质.

四、象限角与分类求值

例 已知tanα=- 3 ，求sinα和cosα的值.

解：tanα=sinαcosα=- 3 ，

sinα=- 3 cosα.

由sin 2α+cos 2α=1可得：（- 3 cosα） 2+cos 2α=1.

4cos 2α=1cosα=±12.

此时还需考虑α落在的象限，它会导致函数取值发生变化.

tanα=- 3 ，

α在第二、四象限.以下对α分类：

当α在第二象限时，cosα

当α在第四象限时，cosα>0，即cosα=12，从而sinα=- 3 ×12=- 3 2.

由此，可让学生感受到，已知一个三角函数的值求其他三角函数的值，一是自变量α所在的象限很关键，它决定了三角函数值的性质；二是对自变量α进行分类讨论求解.

总之，三角函数是一类有别于一般函数的初等超越函数，它反映的是“角”与“边（的比）”的关系，学生弄清以上基本问题后，对于建立图象关系及其掌握图象性质，有了认知基础.什么是“双基”，这就是“双基”；什么是需要衔接过渡的，这就是需要衔接过渡的.