唯一性定理与静电屏蔽的教学思考

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【摘 要】利用唯一性定理系统证明了导体空腔内外的电场的定性关系，证明了当且仅当空腔不接地但腔内又与外界有电荷交换时腔内电场的变化会影响腔外电场，其它情况腔内和腔外的电场互不影响。

【关键词】大学物理 唯一性定理 静电屏蔽

【中图分类号】G642.421【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2009）05－0071－01

大学物理中处理的是均匀无限远边界或面对称、球对称、轴对称的理想情况，而实际的电磁场要复杂得多，处理的多是有限区域、边界形状也不规则的边值问题。处理这类问题时，利用唯一性定理有时是非常方便的。在大学物理的电磁学部分利用唯一性定理可以较全面的分析静电屏蔽，对理解唯一性定理和后续的电动力学或者电磁场理论课程的学习也是很有意义的。

一、唯一性定理

设区域V的边界S为导体，V内电荷分布 及介质分布确定，V的边界S满足下列条件之一时，则V内电场唯一确定：第一类边界条件是导体的电势 已知；第二类是各导体表面上的电量Q已知。［1］

二、导体空腔内的电场

由于静电感应，静电平衡时导体空腔内表面上的电量由腔内电荷决定，总代数和为零。当腔内电荷分布 给定时，腔内表面电量Q确定，腔内区域的边界条件由腔内电荷总量确定的第二类边界条件，与腔外电场无关。由唯一性定理，腔内电场由腔内电荷分布唯一确定，与腔外电场无关，与导体是否接地无关，导体空腔对腔外的电场是完全屏蔽的。［2］

三、导体空腔外的电场

若导体空腔接地，空腔的电势始终为零，腔内、腔外区域均属于第一类边界条件。由唯一性定理，腔外电场由腔外电荷及介质分布决定，不受腔内影响。［2］

当导体空腔与外界绝缘时，腔内电荷电量守恒，总量不变。腔内电荷如果只是空间分布改变，导体空腔内的电场改变，对外表面总电量无影响，腔外区域属于不变的第二类边界条件。由唯一性定理，此时腔外电场不受腔内电场变化的影响，所以绝缘导体空腔对腔内腔外的电场也是相互屏蔽的（见图1）。

当且仅当导体空腔既不接地又不与外界绝缘（例如，有绝缘包皮的导线穿过空腔与外界相连），且导体空腔内的电荷总电量变化，此时外表面的感应电荷总电量会作相同的改变，腔外区域的第二类边界条件改变，腔外电场也改变（见图2）。

四、结 语

对于导体空腔来说，当且仅当导体空腔不接地、腔内与外界不绝缘并引起导体空腔内的电荷总电量变化时，腔外电场会受到腔内电场变化的影响，其它情况下导体空腔对腔内腔外静电场是互相屏蔽的。

唯一性定理在电动力学和电磁场理论课程中是个重点，也是难点。用唯一性定理分析导体的静电屏蔽，可以作为了解性内容在大学物理电磁学的教学中介绍，有助于学生较全面的理解静电屏蔽，并且为电动力学或者电磁场理论课程的学习做准备。

参考文献

1 郭硕鸿. 电动力学（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社，1997：59～61

2 贾起民、郑永令、陈暨耀. 电磁学（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社，2001：78～79